---

Step * 1 1 1 of Lemma choose-formula


1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀[m:ℕ]. (choose(n;m) * (m)! * (n - m)!) = (n)! ∈ ℤ supposing m ≤ n
3. m : {1...}
4. (m + 1) ≤ n
5. (m)! = (m * (m - 1)!) ∈ ℤ
⊢ ((choose(n - 1;m - 1) + choose(n - 1;m)) * (m)! * (n - m)!)
= ((m * choose(n - 1;m - 1) * (m - 1)! * (n - 1 - m - 1)!) + ((n - m) * choose(n - 1;m) * (m)! * (n - 1 - m)!))
∈ ℤ
BY
{ (Assert (n - m)! = ((n - 1 - m - 1) * (n - 1 - m)!) ∈ ℤ BY
         (RW (AddrC [2] (LemmaC `fact_unroll_1`)) 0 THEN Auto THEN Auto'))⋅ }

1
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀[m:ℕ]. (choose(n;m) * (m)! * (n - m)!) = (n)! ∈ ℤ supposing m ≤ n
3. m : {1...}
4. (m + 1) ≤ n
5. (m)! = (m * (m - 1)!) ∈ ℤ
6. (n - m)! = ((n - 1 - m - 1) * (n - 1 - m)!) ∈ ℤ
⊢ ((choose(n - 1;m - 1) + choose(n - 1;m)) * (m)! * (n - m)!)
= ((m * choose(n - 1;m - 1) * (m - 1)! * (n - 1 - m - 1)!) + ((n - m) * choose(n - 1;m) * (m)! * (n - 1 - m)!))
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}[m:\mBbbN{}].  (choose(n;m)  *  (m)!  *  (n  -  m)!)  =  (n)!  supposing  m  \mleq{}  n
3.  m  :  \{1...\}
4.  (m  +  1)  \mleq{}  n
5.  (m)!  =  (m  *  (m  -  1)!)
\mvdash{}  ((choose(n  -  1;m  -  1)  +  choose(n  -  1;m))  *  (m)!  *  (n  -  m)!)
=  ((m  *  choose(n  -  1;m  -  1)  *  (m  -  1)!  *  (n  -  1  -  m  -  1)!)
    +  ((n  -  m)  *  choose(n  -  1;m)  *  (m)!  *  (n  -  1  -  m)!))


By

---

Latex:
(Assert  (n  -  m)!  =  ((n  -  1  -  m  -  1)  *  (n  -  1  -  m)!)  BY
              (RW  (AddrC  [2]  (LemmaC  `fact\_unroll\_1`))  0  THEN  Auto  THEN  Auto'))\mcdot{}

---

Home Index