---

Step * 1 of Lemma combinations-choose

.....truecase..... 
1. ∀[n,m:ℕ].
     ((C(n;m) * (m - n)!) = (m)! ∈ ℤ supposing n ≤ m ∧ (C(n;m) = if n ≤z m then (m)! ÷ (m - n)! else 0 fi  ∈ ℤ))
2. m : ℕ
3. ∀[m@0:ℕ]
     ((C(m;m@0) * (m@0 - m)!) = (m@0)! ∈ ℤ supposing m ≤ m@0
     ∧ (C(m;m@0) = if m ≤z m@0 then (m@0)! ÷ (m@0 - m)! else 0 fi  ∈ ℤ))
4. n : ℕ
5. C(m;n) = ((n)! ÷ (n - m)!) ∈ ℤ
6. m ≤ n
7. (C(m;n) * (n - m)!) = (n)! ∈ ℤ
8. m ≤ n
⊢ C(m;n) = (choose(n;m) * (m)!) ∈ ℤ
BY
{ (Symmetry THEN (InstLemma `choose-formula` [⌜n⌝;⌜m⌝]⋅ THENA Auto) THEN Mul ⌜(n - m)!⌝ 0⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....truecase..... 
1.  \mforall{}[n,m:\mBbbN{}].
          ((C(n;m)  *  (m  -  n)!)  =  (m)!  supposing  n  \mleq{}  m
          \mwedge{}  (C(n;m)  =  if  n  \mleq{}z  m  then  (m)!  \mdiv{}  (m  -  n)!  else  0  fi  ))
2.  m  :  \mBbbN{}
3.  \mforall{}[m@0:\mBbbN{}]
          ((C(m;m@0)  *  (m@0  -  m)!)  =  (m@0)!  supposing  m  \mleq{}  m@0
          \mwedge{}  (C(m;m@0)  =  if  m  \mleq{}z  m@0  then  (m@0)!  \mdiv{}  (m@0  -  m)!  else  0  fi  ))
4.  n  :  \mBbbN{}
5.  C(m;n)  =  ((n)!  \mdiv{}  (n  -  m)!)
6.  m  \mleq{}  n
7.  (C(m;n)  *  (n  -  m)!)  =  (n)!
8.  m  \mleq{}  n
\mvdash{}  C(m;n)  =  (choose(n;m)  *  (m)!)


By

---

Latex:
(Symmetry  THEN  (InstLemma  `choose-formula`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  Mul  \mkleeneopen{}(n  -  m)!\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index