---

Step * 1 1 2 2 of Lemma combinations_aux_rem_property


1. k : ℕ+
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[b,m:ℕ].  (combinations_aux_rem(b rem k;n - 1;m;k) = (combinations_aux(b;n - 1;m) rem k) ∈ ℤ)
5. b : ℕ
6. m : ℕ
7. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
8. m = 0 ∈ ℤ
⊢ combinations_aux_rem(0;n - 1;0 - 1;k) = (combinations_aux(0;n - 1;0 - 1) rem k) ∈ ℤ
BY
{ (Assert ∀n:ℕ. ∀x:ℤ.  ((combinations_aux_rem(0;n;x;k) = 0 ∈ ℤ) ∧ (combinations_aux(0;n;x) = 0 ∈ ℤ)) BY
         (InductionOnNat
          THEN (RecUnfold `combinations_aux_rem` 0 THEN RecUnfold `combinations_aux` 0)
          THEN Reduce 0
          THEN Auto
          THEN SplitOnConclITE
          THEN Auto
          THEN RepeatFor 3 ((CallByValueReduce 0 THEN Auto))))⋅ }

1
.....aux..... 
1. k : ℕ+
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[b,m:ℕ].  (combinations_aux_rem(b rem k;n - 1;m;k) = (combinations_aux(b;n - 1;m) rem k) ∈ ℤ)
5. b : ℕ
6. m : ℕ
7. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
8. m = 0 ∈ ℤ
9. n1 : ℤ
10. 0 < n1
11. ∀x:ℤ. ((combinations_aux_rem(0;n1 - 1;x;k) = 0 ∈ ℤ) ∧ (combinations_aux(0;n1 - 1;x) = 0 ∈ ℤ))
12. x : ℤ
13. ¬(n1 = 0 ∈ ℤ)
⊢ combinations_aux_rem(0 * x rem k;n1 - 1;x - 1;k) = 0 ∈ ℤ

2
1. k : ℕ+
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[b,m:ℕ].  (combinations_aux_rem(b rem k;n - 1;m;k) = (combinations_aux(b;n - 1;m) rem k) ∈ ℤ)
5. b : ℕ
6. m : ℕ
7. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
8. m = 0 ∈ ℤ
9. ∀n:ℕ. ∀x:ℤ.  ((combinations_aux_rem(0;n;x;k) = 0 ∈ ℤ) ∧ (combinations_aux(0;n;x) = 0 ∈ ℤ))
⊢ combinations_aux_rem(0;n - 1;0 - 1;k) = (combinations_aux(0;n - 1;0 - 1) rem k) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  \mforall{}[b,m:\mBbbN{}].    (combinations\_aux\_rem(b  rem  k;n  -  1;m;k)  =  (combinations\_aux(b;n  -  1;m)  rem  k))
5.  b  :  \mBbbN{}
6.  m  :  \mBbbN{}
7.  \mneg{}(n  =  0)
8.  m  =  0
\mvdash{}  combinations\_aux\_rem(0;n  -  1;0  -  1;k)  =  (combinations\_aux(0;n  -  1;0  -  1)  rem  k)


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\mBbbZ{}.    ((combinations\_aux\_rem(0;n;x;k)  =  0)  \mwedge{}  (combinations\_aux(0;n;x)  =  0))  BY
              (InductionOnNat
                THEN  (RecUnfold  `combinations\_aux\_rem`  0  THEN  RecUnfold  `combinations\_aux`  0)
                THEN  Reduce  0
                THEN  Auto
                THEN  SplitOnConclITE
                THEN  Auto
                THEN  RepeatFor  3  ((CallByValueReduce  0  THEN  Auto))))\mcdot{}

---

Home Index