---

Step * 2 of Lemma do-apply-p-first


1. A : Type
2. B : Type
3. u : A ⟶ (B + Top)
4. v : (A ⟶ (B + Top)) List
5. ∀[x:A]. do-apply(p-first(v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);v));x) ∈ B supposing ↑can-apply(p-first(v);x)
⊢ ∀[x:A]
    do-apply(p-first([u / v]);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);[u / v]));x) ∈ B 
    supposing ↑can-apply(p-first([u / v]);x)
BY
{ Subst ⌜[u / v] ~ [u] @ v⌝ 0⋅ }

1
.....equality..... 
1. A : Type
2. B : Type
3. u : A ⟶ (B + Top)
4. v : (A ⟶ (B + Top)) List
5. ∀[x:A]. do-apply(p-first(v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);v));x) ∈ B supposing ↑can-apply(p-first(v);x)
⊢ [u / v] ~ [u] @ v

2
1. A : Type
2. B : Type
3. u : A ⟶ (B + Top)
4. v : (A ⟶ (B + Top)) List
5. ∀[x:A]. do-apply(p-first(v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);v));x) ∈ B supposing ↑can-apply(p-first(v);x)
⊢ ∀[x:A]
    do-apply(p-first([u] @ v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);[u] @ v));x) ∈ B 
    supposing ↑can-apply(p-first([u] @ v);x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  B  :  Type
3.  u  :  A  {}\mrightarrow{}  (B  +  Top)
4.  v  :  (A  {}\mrightarrow{}  (B  +  Top))  List
5.  \mforall{}[x:A]
          do-apply(p-first(v);x)  =  do-apply(hd(filter(\mlambda{}f.can-apply(f;x);v));x) 
          supposing  \muparrow{}can-apply(p-first(v);x)
\mvdash{}  \mforall{}[x:A]
        do-apply(p-first([u  /  v]);x)  =  do-apply(hd(filter(\mlambda{}f.can-apply(f;x);[u  /  v]));x) 
        supposing  \muparrow{}can-apply(p-first([u  /  v]);x)


By

---

Latex:
Subst  \mkleeneopen{}[u  /  v]  \msim{}  [u]  @  v\mkleeneclose{}  0\mcdot{}

---

Home Index