---

Step * 2 2 of Lemma do-apply-p-first


1. A : Type
2. B : Type
3. u : A ⟶ (B + Top)
4. v : (A ⟶ (B + Top)) List
5. ∀[x:A]. do-apply(p-first(v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);v));x) ∈ B supposing ↑can-apply(p-first(v);x)
⊢ ∀[x:A]
    do-apply(p-first([u] @ v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);[u] @ v));x) ∈ B 
    supposing ↑can-apply(p-first([u] @ v);x)
BY
{ xxx(RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
      THEN ((RWO "p-first-append" (-1)) THENA Auto)
      THEN ((RWO "p-conditional-to-p-first<" (-1)) THENA Auto)
      THEN ((RWO "p-conditional-domain" (-1)) THENA Auto)
      THEN (Decide ↑can-apply(p-first([u]);x) THENA Auto))xxx }

1
1. A : Type
2. B : Type
3. u : A ⟶ (B + Top)
4. v : (A ⟶ (B + Top)) List
5. ∀[x:A]. do-apply(p-first(v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);v));x) ∈ B supposing ↑can-apply(p-first(v);x)
6. x : A
7. (↑can-apply(p-first([u]);x)) ∨ (↑can-apply(p-first(v);x))
8. ↑can-apply(p-first([u]);x)
⊢ do-apply(p-first([u] @ v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);[u] @ v));x) ∈ B

2
1. A : Type
2. B : Type
3. u : A ⟶ (B + Top)
4. v : (A ⟶ (B + Top)) List
5. ∀[x:A]. do-apply(p-first(v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);v));x) ∈ B supposing ↑can-apply(p-first(v);x)
6. x : A
7. (↑can-apply(p-first([u]);x)) ∨ (↑can-apply(p-first(v);x))
8. ¬↑can-apply(p-first([u]);x)
⊢ do-apply(p-first([u] @ v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);[u] @ v));x) ∈ B

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  B  :  Type
3.  u  :  A  {}\mrightarrow{}  (B  +  Top)
4.  v  :  (A  {}\mrightarrow{}  (B  +  Top))  List
5.  \mforall{}[x:A]
          do-apply(p-first(v);x)  =  do-apply(hd(filter(\mlambda{}f.can-apply(f;x);v));x) 
          supposing  \muparrow{}can-apply(p-first(v);x)
\mvdash{}  \mforall{}[x:A]
        do-apply(p-first([u]  @  v);x)  =  do-apply(hd(filter(\mlambda{}f.can-apply(f;x);[u]  @  v));x) 
        supposing  \muparrow{}can-apply(p-first([u]  @  v);x)


By

---

Latex:
xxx(RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
        THEN  ((RWO  "p-first-append"  (-1))  THENA  Auto)
        THEN  ((RWO  "p-conditional-to-p-first<"  (-1))  THENA  Auto)
        THEN  ((RWO  "p-conditional-domain"  (-1))  THENA  Auto)
        THEN  (Decide  \muparrow{}can-apply(p-first([u]);x)  THENA  Auto))xxx

---

Home Index