---

Step * 2 2 1 of Lemma do-apply-p-first


1. A : Type
2. B : Type
3. u : A ⟶ (B + Top)
4. v : (A ⟶ (B + Top)) List
5. ∀[x:A]. do-apply(p-first(v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);v));x) ∈ B supposing ↑can-apply(p-first(v);x)
6. x : A
7. (↑can-apply(p-first([u]);x)) ∨ (↑can-apply(p-first(v);x))
8. ↑can-apply(p-first([u]);x)
⊢ do-apply(p-first([u] @ v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);[u] @ v));x) ∈ B
BY
{ (Reduce 0 THEN (SplitOnConclITE THENA Auto)) }

1
.....truecase..... 
1. A : Type
2. B : Type
3. u : A ⟶ (B + Top)
4. v : (A ⟶ (B + Top)) List
5. ∀[x:A]. do-apply(p-first(v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);v));x) ∈ B supposing ↑can-apply(p-first(v);x)
6. x : A
7. (↑can-apply(p-first([u]);x)) ∨ (↑can-apply(p-first(v);x))
8. ↑can-apply(p-first([u]);x)
9. ↑can-apply(u;x)
⊢ do-apply(p-first([u / v]);x) = do-apply(hd([u / filter(λf.can-apply(f;x);v)]);x) ∈ B

2
.....falsecase..... 
1. A : Type
2. B : Type
3. u : A ⟶ (B + Top)
4. v : (A ⟶ (B + Top)) List
5. ∀[x:A]. do-apply(p-first(v);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);v));x) ∈ B supposing ↑can-apply(p-first(v);x)
6. x : A
7. (↑can-apply(p-first([u]);x)) ∨ (↑can-apply(p-first(v);x))
8. ↑can-apply(p-first([u]);x)
9. ¬↑can-apply(u;x)
⊢ do-apply(p-first([u / v]);x) = do-apply(hd(filter(λf.can-apply(f;x);v));x) ∈ B

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  B  :  Type
3.  u  :  A  {}\mrightarrow{}  (B  +  Top)
4.  v  :  (A  {}\mrightarrow{}  (B  +  Top))  List
5.  \mforall{}[x:A]
          do-apply(p-first(v);x)  =  do-apply(hd(filter(\mlambda{}f.can-apply(f;x);v));x) 
          supposing  \muparrow{}can-apply(p-first(v);x)
6.  x  :  A
7.  (\muparrow{}can-apply(p-first([u]);x))  \mvee{}  (\muparrow{}can-apply(p-first(v);x))
8.  \muparrow{}can-apply(p-first([u]);x)
\mvdash{}  do-apply(p-first([u]  @  v);x)  =  do-apply(hd(filter(\mlambda{}f.can-apply(f;x);[u]  @  v));x)


By

---

Latex:
(Reduce  0  THEN  (SplitOnConclITE  THENA  Auto))

---

Home Index