---

Step * 1 of Lemma implies-sum-of-two-squares

.....assertion..... 
∀n,x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
BY
{ (CompleteInductionOnNat
   THEN CompleteInductionOnNat
   THEN Auto
   THEN ExRepD
   THEN (CaseNat 0 `n'
         THENL [(InstConcl [⌜0⌝;⌜0⌝]⋅ THEN Auto); (Decide ⌜∃d:ℕ. ((d | n) ∧ (2 ≤ d) ∧ ((d * d) | n))⌝⋅ THENA Auto)]
   )) }

1
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
3. x : ℕ
4. ∀x:ℕx. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
5. 0 < x
6. w : ℤ
7. y : ℤ
8. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. ∃d:ℕ. ((d | n) ∧ (2 ≤ d) ∧ ((d * d) | n))
⊢ ∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)

2
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
3. x : ℕ
4. ∀x:ℕx. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
5. 0 < x
6. w : ℤ
7. y : ℤ
8. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. ¬(∃d:ℕ. ((d | n) ∧ (2 ≤ d) ∧ ((d * d) | n)))
⊢ ∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
\mforall{}n,x:\mBbbN{}.
    (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))


By

---

Latex:
(CompleteInductionOnNat
  THEN  CompleteInductionOnNat
  THEN  Auto
  THEN  ExRepD
  THEN  (CaseNat  0  `n'
              THENL  [(InstConcl  [\mkleeneopen{}0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                          ;  (Decide  \mkleeneopen{}\mexists{}d:\mBbbN{}.  ((d  |  n)  \mwedge{}  (2  \mleq{}  d)  \mwedge{}  ((d  *  d)  |  n))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)]
  ))

---

Home Index