---

Step * 2 1 of Lemma implies-sum-of-two-squares


1. ∀n,x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
2. n : ℕ@i
3. ∀x:ℕ. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
4. x : ℤ-o@i
5. w : ℤ@i
6. y : ℤ@i
7. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
⊢ ∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)
BY
{ (InstHyp [⌜|x|⌝] (-5)⋅ THEN Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. ∀n,x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
2. n : ℕ@i
3. ∀x:ℕ. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
4. x : ℤ-o@i
5. w : ℤ@i
6. y : ℤ@i
7. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
⊢ 0 < |x|

2
.....antecedent..... 
1. ∀n,x:ℕ.  (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
2. n : ℕ@i
3. ∀x:ℕ. (0 < x ⇒ (∃w,y:ℤ. ((n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)) ⇒ (∃a,b:ℤ. (n = ((a * a) + (b * b)) ∈ ℤ)))
4. x : ℤ-o@i
5. w : ℤ@i
6. y : ℤ@i
7. (n * x * x) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ
⊢ ∃w,y:ℤ. ((n * |x| * |x|) = ((w * w) + (y * y)) ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}n,x:\mBbbN{}.
          (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))
2.  n  :  \mBbbN{}@i
3.  \mforall{}x:\mBbbN{}
          (0  <  x  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}w,y:\mBbbZ{}.  ((n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))))
4.  x  :  \mBbbZ{}\msupminus{}\msupzero{}@i
5.  w  :  \mBbbZ{}@i
6.  y  :  \mBbbZ{}@i
7.  (n  *  x  *  x)  =  ((w  *  w)  +  (y  *  y))
\mvdash{}  \mexists{}a,b:\mBbbZ{}.  (n  =  ((a  *  a)  +  (b  *  b)))


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}|x|\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index