---

Step * 2 4 of Lemma l-ordered-insert-combine


1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. cmp : comparison(T)
4. f : T ⟶ T ⟶ T
5. x : T
6. ∀u,x,y:T.  (R[u;x] ⇒ R[x;y] ⇒ R[u;y])
7. ∀u,x,y:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ R[x;y] ⇒ R[u;y])
8. ∀u,x,y:T.  (((cmp y u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ R[x;y] ⇒ R[x;u])
9. ∀u,x:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ ((cmp u (f x u)) = 0 ∈ ℤ))
10. ∀x,y:T.  (0 < cmp x y ⇒ R[x;y])
11. u : T
12. ¬0 < cmp x u
13. cmp x u ≠ 0
14. v : T List
15. l-ordered(T;x,y.R[x;y];v)
16. ∀y:T. ((y ∈ v) ⇒ R[u;y])
17. l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
18. y : T
19. (y ∈ insert-combine(cmp;f;x;v))
20. l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
⊢ R[u;y]
BY
{ ((FLemma `member-insert-combine` [-2] THENA Auto)
   THEN DProdsAndUnions
   THEN Try (Complete ((BackThruSomeHyp THEN Auto)))) }

1
1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. cmp : comparison(T)
4. f : T ⟶ T ⟶ T
5. x : T
6. ∀u,x,y:T.  (R[u;x] ⇒ R[x;y] ⇒ R[u;y])
7. ∀u,x,y:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ R[x;y] ⇒ R[u;y])
8. ∀u,x,y:T.  (((cmp y u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ R[x;y] ⇒ R[x;u])
9. ∀u,x:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ ((cmp u (f x u)) = 0 ∈ ℤ))
10. ∀x,y:T.  (0 < cmp x y ⇒ R[x;y])
11. u : T
12. ¬0 < cmp x u
13. cmp x u ≠ 0
14. v : T List
15. l-ordered(T;x,y.R[x;y];v)
16. ∀y:T. ((y ∈ v) ⇒ R[u;y])
17. l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
18. y : T
19. (y ∈ insert-combine(cmp;f;x;v))
20. l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
21. y = x ∈ T
⊢ R[u;y]

2
1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. cmp : comparison(T)
4. f : T ⟶ T ⟶ T
5. x : T
6. ∀u,x,y:T.  (R[u;x] ⇒ R[x;y] ⇒ R[u;y])
7. ∀u,x,y:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ R[x;y] ⇒ R[u;y])
8. ∀u,x,y:T.  (((cmp y u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ R[x;y] ⇒ R[x;u])
9. ∀u,x:T.  (((cmp x u) = 0 ∈ ℤ) ⇒ ((cmp u (f x u)) = 0 ∈ ℤ))
10. ∀x,y:T.  (0 < cmp x y ⇒ R[x;y])
11. u : T
12. ¬0 < cmp x u
13. cmp x u ≠ 0
14. v : T List
15. l-ordered(T;x,y.R[x;y];v)
16. ∀y:T. ((y ∈ v) ⇒ R[u;y])
17. l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
18. y : T
19. (y ∈ insert-combine(cmp;f;x;v))
20. l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
21. (∃y1∈v. ((cmp x y1) = 0 ∈ ℤ) ∧ (y = (f x y1) ∈ T))
⊢ R[u;y]

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  R  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  cmp  :  comparison(T)
4.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  T
5.  x  :  T
6.  \mforall{}u,x,y:T.    (R[u;x]  {}\mRightarrow{}  R[x;y]  {}\mRightarrow{}  R[u;y])
7.  \mforall{}u,x,y:T.    (((cmp  x  u)  =  0)  {}\mRightarrow{}  R[x;y]  {}\mRightarrow{}  R[u;y])
8.  \mforall{}u,x,y:T.    (((cmp  y  u)  =  0)  {}\mRightarrow{}  R[x;y]  {}\mRightarrow{}  R[x;u])
9.  \mforall{}u,x:T.    (((cmp  x  u)  =  0)  {}\mRightarrow{}  ((cmp  u  (f  x  u))  =  0))
10.  \mforall{}x,y:T.    (0  <  cmp  x  y  {}\mRightarrow{}  R[x;y])
11.  u  :  T
12.  \mneg{}0  <  cmp  x  u
13.  cmp  x  u  \mneq{}  0
14.  v  :  T  List
15.  l-ordered(T;x,y.R[x;y];v)
16.  \mforall{}y:T.  ((y  \mmember{}  v)  {}\mRightarrow{}  R[u;y])
17.  l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
18.  y  :  T
19.  (y  \mmember{}  insert-combine(cmp;f;x;v))
20.  l-ordered(T;x,y.R[x;y];insert-combine(cmp;f;x;v))
\mvdash{}  R[u;y]


By

---

Latex:
((FLemma  `member-insert-combine`  [-2]  THENA  Auto)
  THEN  DProdsAndUnions
  THEN  Try  (Complete  ((BackThruSomeHyp  THEN  Auto))))

---

Home Index