---

Step * 1 1 1 1 of Lemma proper-divisor-aux_wf


1. n : ℕ+
2. m : ℕ
3. n < (m * m) * m * m
4. m * m < n
5. 1 < m
6. ∀i:ℕm. ((0 ≤ (i * m)) ∧ (i * m) + m < n)
7. b : ℤ
8. 0 < b
9. ((b - 1) ≤ m)
⇒ (proper-divisor-aux(n;m;b - 1;(m * (m - b - 1)) + 1;m * ((m - b - 1) + 1)) ∈ (∃n1:ℤ [(n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n))])
    ∨ (¬(∃i:{m - b - 1..m-}. (↑isl(divisor-test(n;(i * m) + 1;(i * m) + m))))))
10. b ≤ m
11. ¬(b = 0 ∈ ℤ)
12. v : {n1:ℤ| n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n)}  ∨ (gcd(n;iseg_product((m * (m - b)) + 1;m * ((m - b) + 1))) = 1 ∈ ℤ)@i
13. divisor-test(n;(m * (m - b)) + 1;m * ((m - b) + 1))
= v
∈ ({n1:ℤ| n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n)}  ∨ (gcd(n;iseg_product((m * (m - b)) + 1;m * ((m - b) + 1))) = 1 ∈ ℤ))
⊢ case v
   of inl(x) =>
   inl x
   | inr(x) =>
   eval j' = m * ((m - b - 1) + 1) in
   eval i' = (m * (m - b - 1)) + 1 in
   eval b' = b - 1 in
     proper-divisor-aux(n;m;b';i';j') ∈ ∃n1:ℤ [(n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n))] + ((∃i:{m - b..m-}
                                                                                    (↑isl(divisor-test(n;(i * m) + 1;(i
                                                                                    * m)
                                                                                    + m)))) ⟶ False)
BY
{ (D (-2) THEN Reduce 0) }

1
1. n : ℕ+
2. m : ℕ
3. n < (m * m) * m * m
4. m * m < n
5. 1 < m
6. ∀i:ℕm. ((0 ≤ (i * m)) ∧ (i * m) + m < n)
7. b : ℤ
8. 0 < b
9. ((b - 1) ≤ m)
⇒ (proper-divisor-aux(n;m;b - 1;(m * (m - b - 1)) + 1;m * ((m - b - 1) + 1)) ∈ (∃n1:ℤ [(n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n))])
    ∨ (¬(∃i:{m - b - 1..m-}. (↑isl(divisor-test(n;(i * m) + 1;(i * m) + m))))))
10. b ≤ m
11. ¬(b = 0 ∈ ℤ)
12. x : {n1:ℤ| n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n)} @i
13. divisor-test(n;(m * (m - b)) + 1;m * ((m - b) + 1))
= (inl x)
∈ ({n1:ℤ| n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n)}  ∨ (gcd(n;iseg_product((m * (m - b)) + 1;m * ((m - b) + 1))) = 1 ∈ ℤ))
⊢ inl x ∈ ∃n1:ℤ [(n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n))] + ((∃i:{m - b..m-}. (↑isl(divisor-test(n;(i * m) + 1;(i * m) + m))))
                                                   ⟶ False)

2
1. n : ℕ+
2. m : ℕ
3. n < (m * m) * m * m
4. m * m < n
5. 1 < m
6. ∀i:ℕm. ((0 ≤ (i * m)) ∧ (i * m) + m < n)
7. b : ℤ
8. 0 < b
9. ((b - 1) ≤ m)
⇒ (proper-divisor-aux(n;m;b - 1;(m * (m - b - 1)) + 1;m * ((m - b - 1) + 1)) ∈ (∃n1:ℤ [(n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n))])
    ∨ (¬(∃i:{m - b - 1..m-}. (↑isl(divisor-test(n;(i * m) + 1;(i * m) + m))))))
10. b ≤ m
11. ¬(b = 0 ∈ ℤ)
12. y : gcd(n;iseg_product((m * (m - b)) + 1;m * ((m - b) + 1))) = 1 ∈ ℤ@i
13. divisor-test(n;(m * (m - b)) + 1;m * ((m - b) + 1))
= (inr y )
∈ ({n1:ℤ| n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n)}  ∨ (gcd(n;iseg_product((m * (m - b)) + 1;m * ((m - b) + 1))) = 1 ∈ ℤ))
⊢ eval j' = m * ((m - b - 1) + 1) in
  eval i' = (m * (m - b - 1)) + 1 in
  eval b' = b - 1 in
    proper-divisor-aux(n;m;b';i';j') ∈ ∃n1:ℤ [(n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n))] + ((∃i:{m - b..m-}
                                                                                   (↑isl(divisor-test(n;(i * m) + 1;(i
                                                                                   * m)
                                                                                   + m)))) ⟶ False)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  m  :  \mBbbN{}
3.  n  <  (m  *  m)  *  m  *  m
4.  m  *  m  <  n
5.  1  <  m
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}m.  ((0  \mleq{}  (i  *  m))  \mwedge{}  (i  *  m)  +  m  <  n)
7.  b  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  b
9.  ((b  -  1)  \mleq{}  m)
{}\mRightarrow{}  (proper-divisor-aux(n;m;b  -  1;(m  *  (m  -  b  -  1))  +  1;m  *  ((m  -  b  -  1)  +  1))  \mmember{}  (\mexists{}n1:\mBbbZ{}  [(n1  <  n
                                                                                                                                                                              \mwedge{}  (2  \mleq{}  n1)
                                                                                                                                                                              \mwedge{}  (n1  |  n))])
        \mvee{}  (\mneg{}(\mexists{}i:\{m  -  b  -  1..m\msupminus{}\}.  (\muparrow{}isl(divisor-test(n;(i  *  m)  +  1;(i  *  m)  +  m))))))
10.  b  \mleq{}  m
11.  \mneg{}(b  =  0)
12.  v  :  \{n1:\mBbbZ{}|  n1  <  n  \mwedge{}  (2  \mleq{}  n1)  \mwedge{}  (n1  |  n)\} 
\mvee{}  (gcd(n;iseg\_product((m  *  (m  -  b))  +  1;m  *  ((m  -  b)  +  1)))  =  1)@i
13.  divisor-test(n;(m  *  (m  -  b))  +  1;m  *  ((m  -  b)  +  1))  =  v
\mvdash{}  case  v
      of  inl(x)  =>
      inl  x
      |  inr(x)  =>
      eval  j'  =  m  *  ((m  -  b  -  1)  +  1)  in
      eval  i'  =  (m  *  (m  -  b  -  1))  +  1  in
      eval  b'  =  b  -  1  in
          proper-divisor-aux(n;m;b';i';j')
    \mmember{}  \mexists{}n1:\mBbbZ{}  [(n1  <  n  \mwedge{}  (2  \mleq{}  n1)  \mwedge{}  (n1  |  n))]  +  ((\mexists{}i:\{m  -  b..m\msupminus{}\}
                                                                                                (\muparrow{}isl(divisor-test(n;(i  *  m)  +  1;(i  *  m)  +  m))))
                                                                                          {}\mrightarrow{}  False)


By

---

Latex:
(D  (-2)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index