---

Step * 1 1 2 1 1 1 of Lemma strong-fun-connected-induction


1. T : Type
2. f : T ⟶ T
3. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
4. h : T ⟶ ℕ
5. ∀x:T. (((f x) = x ∈ T) ∨ h (f x) < h x)
6. ∀x:T. R[x;x]
7. ∀x,y,z:T.
     (y is f*(z) ⇒ (∀u:T. (y is f*(u) ⇒ u is f*(z) ⇒ R[u;z])) ⇒ R[x;z]) supposing 
        ((¬(x = y ∈ T)) and 
        (x = (f y) ∈ T))
8. n : ℤ
9. 0 < n
10. ∀x,y:T.  (x is f*(y) ⇒ (h y) - h x < n - 1 ⇒ R[x;y])
11. x : T
12. y : T
13. z : T
14. x = (f y) ∈ T
15. ¬(x = y ∈ T)
16. y is f*(z)
17. (h z) - h y < n ⇒ R[y;z]
18. (h z) - h x < n
19. (f y) = y ∈ T
⊢ h x < h y
BY
{ (D 15 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
3.  R  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  h  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
5.  \mforall{}x:T.  (((f  x)  =  x)  \mvee{}  h  (f  x)  <  h  x)
6.  \mforall{}x:T.  R[x;x]
7.  \mforall{}x,y,z:T.
          (y  is  f*(z)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}u:T.  (y  is  f*(u)  {}\mRightarrow{}  u  is  f*(z)  {}\mRightarrow{}  R[u;z]))  {}\mRightarrow{}  R[x;z])  supposing 
                ((\mneg{}(x  =  y))  and 
                (x  =  (f  y)))
8.  n  :  \mBbbZ{}
9.  0  <  n
10.  \mforall{}x,y:T.    (x  is  f*(y)  {}\mRightarrow{}  (h  y)  -  h  x  <  n  -  1  {}\mRightarrow{}  R[x;y])
11.  x  :  T
12.  y  :  T
13.  z  :  T
14.  x  =  (f  y)
15.  \mneg{}(x  =  y)
16.  y  is  f*(z)
17.  (h  z)  -  h  y  <  n  {}\mRightarrow{}  R[y;z]
18.  (h  z)  -  h  x  <  n
19.  (f  y)  =  y
\mvdash{}  h  x  <  h  y


By

---

Latex:
(D  15  THEN  Auto)

---

Home Index