---

Step * 4 1 1 1 1 of Lemma mul-polynom_wf


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].  (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (mul-polynom(p;q) ∈ polyform(n)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ↑(ispolyform(left) (n - 1))
7. ↑(ispolyform(p2) n)
8. 0 < n
9. l1 : tree(ℤ)
10. q2 : tree(ℤ)
11. ↑(ispolyform(l1) (n - 1))
12. ↑(ispolyform(q2) n)
13. 0 < n
14. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
15. aa : polyform(n - 1)
16. mul-polynom(left;l1) = aa ∈ polyform(n - 1)
17. tree_node(left;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
18. tree_size(tree_node(left;polyconst(0))) = (1 + tree_size(left)) ∈ ℤ
19. tree_node(l1;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
20. tree_size(tree_node(l1;polyconst(0))) = (1 + tree_size(l1)) ∈ ℤ
21. ab : polyform(n)
22. mul-polynom(tree_node(left;polyconst(0));q2) = ab ∈ polyform(n)
23. ba : polyform(n)
24. mul-polynom(p2;tree_node(l1;polyconst(0))) = ba ∈ polyform(n)
25. bb : polyform(n)
26. mul-polynom(p2;q2) = bb ∈ polyform(n)
27. mid : polyform(n)
28. add-polynom(ab;ba) = mid ∈ polyform(n)
⊢ tree_node(polyconst(0);bb) ∈ polyform(n)
BY
{ (GenConcl ⌜polyconst(0) = z ∈ polyform(n - 1)⌝⋅ THENA (Auto THEN SubsumeC ⌜polynom(n - 1)⌝⋅ THEN Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].  (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (mul-polynom(p;q) ∈ polyform(n)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ↑(ispolyform(left) (n - 1))
7. ↑(ispolyform(p2) n)
8. 0 < n
9. l1 : tree(ℤ)
10. q2 : tree(ℤ)
11. ↑(ispolyform(l1) (n - 1))
12. ↑(ispolyform(q2) n)
13. 0 < n
14. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
15. aa : polyform(n - 1)
16. mul-polynom(left;l1) = aa ∈ polyform(n - 1)
17. tree_node(left;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
18. tree_size(tree_node(left;polyconst(0))) = (1 + tree_size(left)) ∈ ℤ
19. tree_node(l1;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
20. tree_size(tree_node(l1;polyconst(0))) = (1 + tree_size(l1)) ∈ ℤ
21. ab : polyform(n)
22. mul-polynom(tree_node(left;polyconst(0));q2) = ab ∈ polyform(n)
23. ba : polyform(n)
24. mul-polynom(p2;tree_node(l1;polyconst(0))) = ba ∈ polyform(n)
25. bb : polyform(n)
26. mul-polynom(p2;q2) = bb ∈ polyform(n)
27. mid : polyform(n)
28. add-polynom(ab;ba) = mid ∈ polyform(n)
29. z : polyform(n - 1)
30. polyconst(0) = z ∈ polyform(n - 1)
⊢ tree_node(z;bb) ∈ polyform(n)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].
              (((tree\_size(p)  +  tree\_size(q))  \mleq{}  k)  {}\mRightarrow{}  (mul-polynom(p;q)  \mmember{}  polyform(n)))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  left  :  tree(\mBbbZ{})
5.  p2  :  tree(\mBbbZ{})
6.  \muparrow{}(ispolyform(left)  (n  -  1))
7.  \muparrow{}(ispolyform(p2)  n)
8.  0  <  n
9.  l1  :  tree(\mBbbZ{})
10.  q2  :  tree(\mBbbZ{})
11.  \muparrow{}(ispolyform(l1)  (n  -  1))
12.  \muparrow{}(ispolyform(q2)  n)
13.  0  <  n
14.  (((1  +  tree\_size(left))  +  tree\_size(p2))  +  (1  +  tree\_size(l1))  +  tree\_size(q2))  \mleq{}  k
15.  aa  :  polyform(n  -  1)
16.  mul-polynom(left;l1)  =  aa
17.  tree\_node(left;polyconst(0))  \mmember{}  polyform(n)
18.  tree\_size(tree\_node(left;polyconst(0)))  =  (1  +  tree\_size(left))
19.  tree\_node(l1;polyconst(0))  \mmember{}  polyform(n)
20.  tree\_size(tree\_node(l1;polyconst(0)))  =  (1  +  tree\_size(l1))
21.  ab  :  polyform(n)
22.  mul-polynom(tree\_node(left;polyconst(0));q2)  =  ab
23.  ba  :  polyform(n)
24.  mul-polynom(p2;tree\_node(l1;polyconst(0)))  =  ba
25.  bb  :  polyform(n)
26.  mul-polynom(p2;q2)  =  bb
27.  mid  :  polyform(n)
28.  add-polynom(ab;ba)  =  mid
\mvdash{}  tree\_node(polyconst(0);bb)  \mmember{}  polyform(n)


By

---

Latex:
(GenConcl  \mkleeneopen{}polyconst(0)  =  z\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  SubsumeC  \mkleeneopen{}polynom(n  -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto))

---

Home Index