---

Step * 1 of Lemma cross-product-equal-zero


1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. (a x b) = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|)
⊢ (a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
BY
{ ((Assert ∀x,y:|r|.  (((x +r (-r y)) = 0 ∈ |r|) ⇒ (x = y ∈ |r|)) BY
          (Auto THEN (ApFunToHypEquands `Z' ⌜Z +r y⌝ ⌜|r|⌝ (-1)⋅ THENA Auto) THEN RW RngNormC (-1) THEN Auto))
   THEN (Assert ∀i:ℕ3. (((a x b) i) = (0 i) ∈ |r|) BY
               Auto)
   THEN (InstHyp [⌜0⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜1⌝] (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN (D -3 With ⌜2⌝  THENA Auto)
   THEN Thin (-5)⋅
   THEN All (RepUR ``cross-product zero-vector``)
   THEN RepeatFor 3 (((FHyp 5 [-3] THENA Auto) THEN Thin (-4)))
   THEN Thin (-4)) }

1
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ((a 1) * (b 2)) = ((a 2) * (b 1)) ∈ |r|
6. ((a 2) * (b 0)) = ((a 0) * (b 2)) ∈ |r|
7. ((a 0) * (b 1)) = ((a 1) * (b 0)) ∈ |r|
⊢ (a = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  IntegDom\{i\}
2.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
3.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
5.  (a  x  b)  =  0
\mvdash{}  (a  =  0)  \mvee{}  (b  =  0)  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}3.  ((\mneg{}((b  i)  =  0))  \mwedge{}  (\mneg{}((a  i)  =  0))  \mwedge{}  ((b  i*a)  =  (a  i*b))))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}x,y:|r|.    (((x  +r  (-r  y))  =  0)  {}\mRightarrow{}  (x  =  y))  BY
                (Auto
                  THEN  (ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}Z  +r  y\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}|r|\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  RW  RngNormC  (-1)
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}i:\mBbbN{}3.  (((a  x  b)  i)  =  (0  i))  BY
                          Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}1\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  -3  With  \mkleeneopen{}2\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-5)\mcdot{}
  THEN  All  (RepUR  ``cross-product  zero-vector``)
  THEN  RepeatFor  3  (((FHyp  5  [-3]  THENA  Auto)  THEN  Thin  (-4)))
  THEN  Thin  (-4))

---

Home Index