---

Step * 1 1 of Lemma cross-product-equal-zero


1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ((a 1) * (b 2)) = ((a 2) * (b 1)) ∈ |r|
6. ((a 2) * (b 0)) = ((a 0) * (b 2)) ∈ |r|
7. ((a 0) * (b 1)) = ((a 1) * (b 0)) ∈ |r|
⊢ (a = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
BY
{ ((Assert IsIntegDom(r) BY (D 1 THEN Unhide THEN Auto)) THEN D -1) }

1
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ((a 1) * (b 2)) = ((a 2) * (b 1)) ∈ |r|
6. ((a 2) * (b 0)) = ((a 0) * (b 2)) ∈ |r|
7. ((a 0) * (b 1)) = ((a 1) * (b 0)) ∈ |r|
8. 0 ≠ 1 ∈ |r| 
9. ∀u,v:|r|.  ((¬(v = 0 ∈ |r|)) ⇒ ((u * v) = 0 ∈ |r|) ⇒ (u = 0 ∈ |r|))
⊢ (a = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  IntegDom\{i\}
2.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
3.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
5.  ((a  1)  *  (b  2))  =  ((a  2)  *  (b  1))
6.  ((a  2)  *  (b  0))  =  ((a  0)  *  (b  2))
7.  ((a  0)  *  (b  1))  =  ((a  1)  *  (b  0))
\mvdash{}  (a  =  (\mlambda{}i.0))  \mvee{}  (b  =  (\mlambda{}i.0))  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}3.  ((\mneg{}((b  i)  =  0))  \mwedge{}  (\mneg{}((a  i)  =  0))  \mwedge{}  ((b  i*a)  =  (a  i*b))))


By

---

Latex:
((Assert  IsIntegDom(r)  BY  (D  1  THEN  Unhide  THEN  Auto))  THEN  D  -1)

---

Home Index