---

Step * 1 1 1 of Lemma cross-product-equal-zero


1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ((a 1) * (b 2)) = ((a 2) * (b 1)) ∈ |r|
6. ((a 2) * (b 0)) = ((a 0) * (b 2)) ∈ |r|
7. ((a 0) * (b 1)) = ((a 1) * (b 0)) ∈ |r|
8. 0 ≠ 1 ∈ |r| 
9. ∀u,v:|r|.  ((¬(v = 0 ∈ |r|)) ⇒ ((u * v) = 0 ∈ |r|) ⇒ (u = 0 ∈ |r|))
⊢ (a = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
BY
{ ((Decide  ⌜(b 2) = 0 ∈ |r|⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Try (((Eliminate ⌜b 2⌝⋅ THENA Auto) THEN (RW RngNormC (-6) THENA Auto) THEN (RW RngNormC (-5) THENA Auto)))
   THEN (Decide  ⌜(a 2) = 0 ∈ |r|⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Try (((Eliminate ⌜a 2⌝⋅ THENA Auto) THEN (All (RW RngNormC) THENA Auto)))) }

1
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. 0 = 0 ∈ |r|
6. 0 = 0 ∈ |r|
7. ((a 0) * (b 1)) = ((a 1) * (b 0)) ∈ |r|
8. 0 ≠ 1 ∈ |r| 
9. ∀u,v:|r|.  ((¬(v = 0 ∈ |r|)) ⇒ ((u * v) = 0 ∈ |r|) ⇒ (u = 0 ∈ |r|))
10. (b 2) = 0 ∈ |r|
11. (a 2) = 0 ∈ |r|
⊢ (a = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))

2
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. 0 = ((a 2) * (b 1)) ∈ |r|
6. ((a 2) * (b 0)) = 0 ∈ |r|
7. ((a 0) * (b 1)) = ((a 1) * (b 0)) ∈ |r|
8. 0 ≠ 1 ∈ |r| 
9. ∀u,v:|r|.  ((¬(v = 0 ∈ |r|)) ⇒ ((u * v) = 0 ∈ |r|) ⇒ (u = 0 ∈ |r|))
10. (b 2) = 0 ∈ |r|
11. ¬((a 2) = 0 ∈ |r|)
⊢ (a = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))

3
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ((a 1) * (b 2)) = 0 ∈ |r|
6. 0 = ((a 0) * (b 2)) ∈ |r|
7. ((a 0) * (b 1)) = ((a 1) * (b 0)) ∈ |r|
8. 0 ≠ 1 ∈ |r| 
9. ∀u,v:|r|.  ((¬(v = 0 ∈ |r|)) ⇒ ((u * v) = 0 ∈ |r|) ⇒ (u = 0 ∈ |r|))
10. ¬((b 2) = 0 ∈ |r|)
11. (a 2) = 0 ∈ |r|
⊢ (a = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))

4
1. r : IntegDom{i}
2. a : ℕ3 ⟶ |r|
3. b : ℕ3 ⟶ |r|
4. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
5. ((a 1) * (b 2)) = ((a 2) * (b 1)) ∈ |r|
6. ((a 2) * (b 0)) = ((a 0) * (b 2)) ∈ |r|
7. ((a 0) * (b 1)) = ((a 1) * (b 0)) ∈ |r|
8. 0 ≠ 1 ∈ |r| 
9. ∀u,v:|r|.  ((¬(v = 0 ∈ |r|)) ⇒ ((u * v) = 0 ∈ |r|) ⇒ (u = 0 ∈ |r|))
10. ¬((b 2) = 0 ∈ |r|)
11. ¬((a 2) = 0 ∈ |r|)
⊢ (a = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (b = (λi.0) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
∨ (∃i:ℕ3. ((¬((b i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ ((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  IntegDom\{i\}
2.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
3.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
5.  ((a  1)  *  (b  2))  =  ((a  2)  *  (b  1))
6.  ((a  2)  *  (b  0))  =  ((a  0)  *  (b  2))
7.  ((a  0)  *  (b  1))  =  ((a  1)  *  (b  0))
8.  0  \mneq{}  1  \mmember{}  |r| 
9.  \mforall{}u,v:|r|.    ((\mneg{}(v  =  0))  {}\mRightarrow{}  ((u  *  v)  =  0)  {}\mRightarrow{}  (u  =  0))
\mvdash{}  (a  =  (\mlambda{}i.0))  \mvee{}  (b  =  (\mlambda{}i.0))  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}3.  ((\mneg{}((b  i)  =  0))  \mwedge{}  (\mneg{}((a  i)  =  0))  \mwedge{}  ((b  i*a)  =  (a  i*b))))


By

---

Latex:
((Decide    \mkleeneopen{}(b  2)  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Try  (((Eliminate  \mkleeneopen{}b  2\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                        THEN  (RW  RngNormC  (-6)  THENA  Auto)
                        THEN  (RW  RngNormC  (-5)  THENA  Auto)))
  THEN  (Decide    \mkleeneopen{}(a  2)  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Try  (((Eliminate  \mkleeneopen{}a  2\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  (All  (RW  RngNormC)  THENA  Auto))))

---

Home Index