---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma det-fun-is-determinant

.....subterm..... T:t
4:n
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. ¬n < 1
4. 0 < n
5. d : det-fun(r;n)
6. M : Matrix(n;n;r)
7. i : ℕn
⊢ (d matrix(if x=0 then if y=i then M[0,i] else 0 else M[x,y]))
= (M[0,i] * (d matrix(if x=0 then if y=i then 1 else 0 else M[x,y])))
∈ |r|
BY
{ (D -3 THEN Auto) }

1
1. r : CRng
2. n : ℤ
3. ¬n < 1
4. 0 < n
5. d : Matrix(n;n;r) ⟶ |r|
6. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
7. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
8. ∀i,j:ℕn.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
9. ∀i,j:ℕn.
     ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n;n;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n;n;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
10. M : Matrix(n;n;r)
11. i : ℕn
⊢ (d matrix(if x=0 then if y=i then M[0,i] else 0 else M[x,y]))
= (M[0,i] * (d matrix(if x=0 then if y=i then 1 else 0 else M[x,y])))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
4:n
1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  \mneg{}n  <  1
4.  0  <  n
5.  d  :  det-fun(r;n)
6.  M  :  Matrix(n;n;r)
7.  i  :  \mBbbN{}n
\mvdash{}  (d  matrix(if  x=0  then  if  y=i  then  M[0,i]  else  0  else  M[x,y]))
=  (M[0,i]  *  (d  matrix(if  x=0  then  if  y=i  then  1  else  0  else  M[x,y])))


By

---

Latex:
(D  -3  THEN  Auto)

---

Home Index