---

Step * of Lemma extend-half-cube-face

No Annotations
∀k:ℕ. ∀a,b,c:ℚCube(k).
  (0 < dim(c)
  ⇒ a ≤ b
  ⇒ (↑is-half-cube(k;b;c))
  ⇒ (dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ)
  ⇒ (((∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ d ≤ c))
     ∧ (∀b':ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;b';c)) ⇒ a ≤ b' ⇒ (b' = b ∈ ℚCube(k)))))
     ∨ ((∃!b':ℚCube(k). (a ≤ b' ∧ (↑is-half-cube(k;b';c)) ∧ (¬(b' = b ∈ ℚCube(k))))) ∧ has-interior-point(k;a;c))))
BY
{ (Auto
   THEN (Assert 0 < dim(b) BY
               ((Assert ↑Inhabited(c) BY
                       (Unfold `rat-cube-dimension` 5 THEN SplitOnHypITE 5  THEN Auto))
                THEN FLemma `half-cube-dimension` [-3]
                THEN Auto))
   THEN PromoteHyp (-1) 5
   THEN (InstLemma `immediate-rc-face-implies` [⌜k⌝;⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THENA (Auto THEN D 0 THEN Auto))
   THEN (Assert ↑Inhabited(a) BY
               ((Assert 0 ≤ dim(a) BY Auto) THEN Unfold `rat-cube-dimension` -1 THEN SplitOnHypITE -1  THEN Auto))
   THEN PromoteHyp (-1) 5) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ↑Inhabited(a)
6. 0 < dim(b)
7. 0 < dim(c)
8. a ≤ b
9. ↑is-half-cube(k;b;c)
10. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
11. ∃i:ℕk
     ((dim(b i) = 1 ∈ ℤ)
     ∧ (∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval)))
     ∧ (((a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((a i) = [snd((b i))] ∈ ℚInterval)))
⊢ ((∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ d ≤ c))
∧ (∀b':ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;b';c)) ⇒ a ≤ b' ⇒ (b' = b ∈ ℚCube(k)))))
∨ ((∃!b':ℚCube(k). (a ≤ b' ∧ (↑is-half-cube(k;b';c)) ∧ (¬(b' = b ∈ ℚCube(k))))) ∧ has-interior-point(k;a;c))

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}a,b,c:\mBbbQ{}Cube(k).
    (0  <  dim(c)
    {}\mRightarrow{}  a  \mleq{}  b
    {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}is-half-cube(k;b;c))
    {}\mRightarrow{}  (dim(a)  =  (dim(b)  -  1))
    {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}!d:\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;a;d))  \mwedge{}  d  \mleq{}  c))
          \mwedge{}  (\mforall{}b':\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;b';c))  {}\mRightarrow{}  a  \mleq{}  b'  {}\mRightarrow{}  (b'  =  b))))
          \mvee{}  ((\mexists{}!b':\mBbbQ{}Cube(k).  (a  \mleq{}  b'  \mwedge{}  (\muparrow{}is-half-cube(k;b';c))  \mwedge{}  (\mneg{}(b'  =  b))))
              \mwedge{}  has-interior-point(k;a;c))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (Assert  0  <  dim(b)  BY
                          ((Assert  \muparrow{}Inhabited(c)  BY
                                          (Unfold  `rat-cube-dimension`  5  THEN  SplitOnHypITE  5    THEN  Auto))
                            THEN  FLemma  `half-cube-dimension`  [-3]
                            THEN  Auto))
  THEN  PromoteHyp  (-1)  5
  THEN  (InstLemma  `immediate-rc-face-implies`  [\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  D  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \muparrow{}Inhabited(a)  BY
                          ((Assert  0  \mleq{}  dim(a)  BY
                                          Auto)
                            THEN  Unfold  `rat-cube-dimension`  -1
                            THEN  SplitOnHypITE  -1 
                            THEN  Auto))
  THEN  PromoteHyp  (-1)  5)

---

Home Index