---

Step * 1 of Lemma extend-half-cube-face


1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ↑Inhabited(a)
6. 0 < dim(b)
7. 0 < dim(c)
8. a ≤ b
9. ↑is-half-cube(k;b;c)
10. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
11. ∃i:ℕk
     ((dim(b i) = 1 ∈ ℤ)
     ∧ (∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval)))
     ∧ (((a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((a i) = [snd((b i))] ∈ ℚInterval)))
⊢ ((∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ d ≤ c))
∧ (∀b':ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;b';c)) ⇒ a ≤ b' ⇒ (b' = b ∈ ℚCube(k)))))
∨ ((∃!b':ℚCube(k). (a ≤ b' ∧ (↑is-half-cube(k;b';c)) ∧ (¬(b' = b ∈ ℚCube(k))))) ∧ has-interior-point(k;a;c))
BY
{ ((Assert ∃i:ℕk
            ((dim(c i) = 1 ∈ ℤ)
            ∧ (∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval)))
            ∧ (((a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((a i) = [snd((b i))] ∈ ℚInterval))) BY
          (RepeatFor 2 (ParallelLast)
           THEN (RWO  "assert-is-half-cube" (-5) THENA Auto)
           THEN (Assert ↑is-half-interval(b i;c i) BY
                       Auto)
           THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
           THEN GenConclTerms Auto [⌜b i⌝;⌜c i⌝]⋅
           THEN All Thin
           THEN D 1
           THEN D -1
           THEN RepUR ``rat-interval-dimension is-half-interval`` 0
           THEN (RW assert_pushdownC 0 THENA Auto)
           THEN AutoSplit
           THEN Auto
           THEN D -1
           THEN Auto
           THEN AutoSplit
           THEN RationalElim ⌜v2⌝⋅
           THEN RationalElim ⌜v3⌝⋅
           THEN All QavgSimp
           THEN Auto))
   THEN Thin (-2)
   ) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ↑Inhabited(a)
6. 0 < dim(b)
7. 0 < dim(c)
8. a ≤ b
9. ↑is-half-cube(k;b;c)
10. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
11. ∃i:ℕk
     ((dim(c i) = 1 ∈ ℤ)
     ∧ (∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval)))
     ∧ (((a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((a i) = [snd((b i))] ∈ ℚInterval)))
⊢ ((∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ d ≤ c))
∧ (∀b':ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;b';c)) ⇒ a ≤ b' ⇒ (b' = b ∈ ℚCube(k)))))
∨ ((∃!b':ℚCube(k). (a ≤ b' ∧ (↑is-half-cube(k;b';c)) ∧ (¬(b' = b ∈ ℚCube(k))))) ∧ has-interior-point(k;a;c))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  b  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  \muparrow{}Inhabited(a)
6.  0  <  dim(b)
7.  0  <  dim(c)
8.  a  \mleq{}  b
9.  \muparrow{}is-half-cube(k;b;c)
10.  dim(a)  =  (dim(b)  -  1)
11.  \mexists{}i:\mBbbN{}k
          ((dim(b  i)  =  1)
          \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((a  j)  =  (b  j))))
          \mwedge{}  (((a  i)  =  [fst((b  i))])  \mvee{}  ((a  i)  =  [snd((b  i))])))
\mvdash{}  ((\mexists{}!d:\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;a;d))  \mwedge{}  d  \mleq{}  c))
\mwedge{}  (\mforall{}b':\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;b';c))  {}\mRightarrow{}  a  \mleq{}  b'  {}\mRightarrow{}  (b'  =  b))))
\mvee{}  ((\mexists{}!b':\mBbbQ{}Cube(k).  (a  \mleq{}  b'  \mwedge{}  (\muparrow{}is-half-cube(k;b';c))  \mwedge{}  (\mneg{}(b'  =  b))))  \mwedge{}  has-interior-point(k;a;c))


By

---

Latex:
((Assert  \mexists{}i:\mBbbN{}k
                    ((dim(c  i)  =  1)
                    \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((a  j)  =  (b  j))))
                    \mwedge{}  (((a  i)  =  [fst((b  i))])  \mvee{}  ((a  i)  =  [snd((b  i))])))  BY
                (RepeatFor  2  (ParallelLast)
                  THEN  (RWO    "assert-is-half-cube"  (-5)  THENA  Auto)
                  THEN  (Assert  \muparrow{}is-half-interval(b  i;c  i)  BY
                                          Auto)
                  THEN  RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
                  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}b  i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c  i\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                  THEN  All  Thin
                  THEN  D  1
                  THEN  D  -1
                  THEN  RepUR  ``rat-interval-dimension  is-half-interval``  0
                  THEN  (RW  assert\_pushdownC  0  THENA  Auto)
                  THEN  AutoSplit
                  THEN  Auto
                  THEN  D  -1
                  THEN  Auto
                  THEN  AutoSplit
                  THEN  RationalElim  \mkleeneopen{}v2\mkleeneclose{}\mcdot{}
                  THEN  RationalElim  \mkleeneopen{}v3\mkleeneclose{}\mcdot{}
                  THEN  All  QavgSimp
                  THEN  Auto))
  THEN  Thin  (-2)
  )

---

Home Index