---

Step * 1 1 of Lemma immediate-rc-face-implies


1. k : ℕ
2. f : ℚCube(k)
3. c : ℚCube(k)
4. 0 < Σ(dim(c i) | i < k)
5. f ≤ c
6. dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ
7. ↑Inhabited(c)
8. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
9. ∀i:ℕk
     (((f i) = (c i) ∈ ℚInterval)
     ∨ ((dim(c i) = 1 ∈ ℤ) ∧ (((f i) = [fst((c i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f i) = [snd((c i))] ∈ ℚInterval))))
⊢ ∃i:ℕk
   ((dim(c i) = 1 ∈ ℤ)
   ∧ (∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((f j) = (c j) ∈ ℚInterval)))
   ∧ (((f i) = [fst((c i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f i) = [snd((c i))] ∈ ℚInterval)))
BY
{ (Assert ∃i:ℕk. ((dim(c i) = 1 ∈ ℤ) ∧ (((f i) = [fst((c i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f i) = [snd((c i))] ∈ ℚInterval))) BY
         (SupposeNot
          THEN ((Assert f = c ∈ ℚCube(k) BY
                       (Unfold `rational-cube` 0
                        THEN (FunExt THENA Auto)
                        THEN (D -3 With ⌜x⌝  THENA Auto)
                        THEN D -1
                        THEN Auto
                        THEN D -4
                        THEN Auto))
               THENM (HypSubst' (-1) (-6) THEN Auto)
               )
          )) }

1
1. k : ℕ
2. f : ℚCube(k)
3. c : ℚCube(k)
4. 0 < Σ(dim(c i) | i < k)
5. f ≤ c
6. dim(f) = (dim(c) - 1) ∈ ℤ
7. ↑Inhabited(c)
8. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
9. ∀i:ℕk
     (((f i) = (c i) ∈ ℚInterval)
     ∨ ((dim(c i) = 1 ∈ ℤ) ∧ (((f i) = [fst((c i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f i) = [snd((c i))] ∈ ℚInterval))))
10. ∃i:ℕk. ((dim(c i) = 1 ∈ ℤ) ∧ (((f i) = [fst((c i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f i) = [snd((c i))] ∈ ℚInterval)))
⊢ ∃i:ℕk
   ((dim(c i) = 1 ∈ ℤ)
   ∧ (∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((f j) = (c j) ∈ ℚInterval)))
   ∧ (((f i) = [fst((c i))] ∈ ℚInterval) ∨ ((f i) = [snd((c i))] ∈ ℚInterval)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  0  <  \mSigma{}(dim(c  i)  |  i  <  k)
5.  f  \mleq{}  c
6.  dim(f)  =  (dim(c)  -  1)
7.  \muparrow{}Inhabited(c)
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(c  i))
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((f  i)  =  (c  i))  \mvee{}  ((dim(c  i)  =  1)  \mwedge{}  (((f  i)  =  [fst((c  i))])  \mvee{}  ((f  i)  =  [snd((c  i))]))))
\mvdash{}  \mexists{}i:\mBbbN{}k
      ((dim(c  i)  =  1)
      \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((f  j)  =  (c  j))))
      \mwedge{}  (((f  i)  =  [fst((c  i))])  \mvee{}  ((f  i)  =  [snd((c  i))])))


By

---

Latex:
(Assert  \mexists{}i:\mBbbN{}k.  ((dim(c  i)  =  1)  \mwedge{}  (((f  i)  =  [fst((c  i))])  \mvee{}  ((f  i)  =  [snd((c  i))])))  BY
              (SupposeNot
                THEN  ((Assert  f  =  c  BY
                                          (Unfold  `rational-cube`  0
                                            THEN  (FunExt  THENA  Auto)
                                            THEN  (D  -3  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
                                            THEN  D  -1
                                            THEN  Auto
                                            THEN  D  -4
                                            THEN  Auto))
                          THENM  (HypSubst'  (-1)  (-6)  THEN  Auto)
                          )
                ))

---

Home Index