---

Step * 2 1 2 of Lemma q-geometric-series-converges


1. a : {a:ℚ| |a| < 1} 
2. e : {e:ℚ| 0 < e ∧ (e ≤ 1)} 
3. ¬((1 - a) = 0 ∈ ℚ)
4. |a| ∈ {q:ℚ| (0 ≤ q) ∧ q < 1} 
5. e' : {e:ℚ| 0 < e} 
6. e' = (|1 - a| * e) ∈ {e:ℚ| 0 < e} 
7. v : ℕ+
8. |a| ↑ v < e'
9. m : ℕ
10. v ≤ m
⊢ |if qeq(a;1) then m else (1 - a ↑ m/1 - a) fi  - (1/1 - a)| = (|a| ↑ m/|1 - a|) ∈ ℚ
BY
{ AutoSplit⋅ }

1
1. a : {a:ℚ| |a| < 1} 
2. e : {e:ℚ| 0 < e ∧ (e ≤ 1)} 
3. ¬((1 - a) = 0 ∈ ℚ)
4. |a| ∈ {q:ℚ| (0 ≤ q) ∧ q < 1} 
5. e' : {e:ℚ| 0 < e} 
6. e' = (|1 - a| * e) ∈ {e:ℚ| 0 < e} 
7. v : ℕ+
8. |a| ↑ v < e'
9. m : ℕ
10. v ≤ m
11. a = 1 ∈ ℚ
⊢ |m - (1/1 - a)| = (|a| ↑ m/|1 - a|) ∈ ℚ

2
1. a : {a:ℚ| |a| < 1} 
2. ¬(a = 1 ∈ ℚ)
3. e : {e:ℚ| 0 < e ∧ (e ≤ 1)} 
4. ¬((1 - a) = 0 ∈ ℚ)
5. |a| ∈ {q:ℚ| (0 ≤ q) ∧ q < 1} 
6. e' : {e:ℚ| 0 < e} 
7. e' = (|1 - a| * e) ∈ {e:ℚ| 0 < e} 
8. v : ℕ+
9. |a| ↑ v < e'
10. m : ℕ
11. v ≤ m
⊢ |(1 - a ↑ m/1 - a) - (1/1 - a)| = (|a| ↑ m/|1 - a|) ∈ ℚ

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbQ{}|  |a|  <  1\} 
2.  e  :  \{e:\mBbbQ{}|  0  <  e  \mwedge{}  (e  \mleq{}  1)\} 
3.  \mneg{}((1  -  a)  =  0)
4.  |a|  \mmember{}  \{q:\mBbbQ{}|  (0  \mleq{}  q)  \mwedge{}  q  <  1\} 
5.  e'  :  \{e:\mBbbQ{}|  0  <  e\} 
6.  e'  =  (|1  -  a|  *  e)
7.  v  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  |a|  \muparrow{}  v  <  e'
9.  m  :  \mBbbN{}
10.  v  \mleq{}  m
\mvdash{}  |if  qeq(a;1)  then  m  else  (1  -  a  \muparrow{}  m/1  -  a)  fi    -  (1/1  -  a)|  =  (|a|  \muparrow{}  m/|1  -  a|)


By

---

Latex:
AutoSplit\mcdot{}

---

Home Index