---

Step * 2 1 2 2 of Lemma q-geometric-series-converges


1. a : {a:ℚ| |a| < 1} 
2. ¬(a = 1 ∈ ℚ)
3. e : {e:ℚ| 0 < e ∧ (e ≤ 1)} 
4. ¬((1 - a) = 0 ∈ ℚ)
5. |a| ∈ {q:ℚ| (0 ≤ q) ∧ q < 1} 
6. e' : {e:ℚ| 0 < e} 
7. e' = (|1 - a| * e) ∈ {e:ℚ| 0 < e} 
8. v : ℕ+
9. |a| ↑ v < e'
10. m : ℕ
11. v ≤ m
⊢ |(1 - a ↑ m/1 - a) - (1/1 - a)| = (|a| ↑ m/|1 - a|) ∈ ℚ
BY
{ (Subst ⌜((1 - a ↑ m/1 - a) - (1/1 - a)) = (-(a ↑ m)/1 - a) ∈ ℚ⌝ 0⋅ THENA Auto) }

1
.....equality..... 
1. a : {a:ℚ| |a| < 1} 
2. ¬(a = 1 ∈ ℚ)
3. e : {e:ℚ| 0 < e ∧ (e ≤ 1)} 
4. ¬((1 - a) = 0 ∈ ℚ)
5. |a| ∈ {q:ℚ| (0 ≤ q) ∧ q < 1} 
6. e' : {e:ℚ| 0 < e} 
7. e' = (|1 - a| * e) ∈ {e:ℚ| 0 < e} 
8. v : ℕ+
9. |a| ↑ v < e'
10. m : ℕ
11. v ≤ m
⊢ ((1 - a ↑ m/1 - a) - (1/1 - a)) = (-(a ↑ m)/1 - a) ∈ ℚ

2
1. a : {a:ℚ| |a| < 1} 
2. ¬(a = 1 ∈ ℚ)
3. e : {e:ℚ| 0 < e ∧ (e ≤ 1)} 
4. ¬((1 - a) = 0 ∈ ℚ)
5. |a| ∈ {q:ℚ| (0 ≤ q) ∧ q < 1} 
6. e' : {e:ℚ| 0 < e} 
7. e' = (|1 - a| * e) ∈ {e:ℚ| 0 < e} 
8. v : ℕ+
9. |a| ↑ v < e'
10. m : ℕ
11. v ≤ m
⊢ |(-(a ↑ m)/1 - a)| = (|a| ↑ m/|1 - a|) ∈ ℚ

3
1. a : {a:ℚ| |a| < 1} 
2. ¬(a = 1 ∈ ℚ)
3. e : {e:ℚ| 0 < e ∧ (e ≤ 1)} 
4. ¬((1 - a) = 0 ∈ ℚ)
5. |a| ∈ {q:ℚ| (0 ≤ q) ∧ q < 1} 
6. e' : {e:ℚ| 0 < e} 
7. e' = (|1 - a| * e) ∈ {e:ℚ| 0 < e} 
8. v : ℕ+
9. |a| ↑ v < e'
10. m : ℕ
11. v ≤ m
12. z : ℚ
⊢ ¬(|1 - a| = 0 ∈ ℚ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbQ{}|  |a|  <  1\} 
2.  \mneg{}(a  =  1)
3.  e  :  \{e:\mBbbQ{}|  0  <  e  \mwedge{}  (e  \mleq{}  1)\} 
4.  \mneg{}((1  -  a)  =  0)
5.  |a|  \mmember{}  \{q:\mBbbQ{}|  (0  \mleq{}  q)  \mwedge{}  q  <  1\} 
6.  e'  :  \{e:\mBbbQ{}|  0  <  e\} 
7.  e'  =  (|1  -  a|  *  e)
8.  v  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  |a|  \muparrow{}  v  <  e'
10.  m  :  \mBbbN{}
11.  v  \mleq{}  m
\mvdash{}  |(1  -  a  \muparrow{}  m/1  -  a)  -  (1/1  -  a)|  =  (|a|  \muparrow{}  m/|1  -  a|)


By

---

Latex:
(Subst  \mkleeneopen{}((1  -  a  \muparrow{}  m/1  -  a)  -  (1/1  -  a))  =  (-(a  \muparrow{}  m)/1  -  a)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index