---

Step * 1 of Lemma qroot


1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. p : ℤ
4. q : ℤ
5. 0 < q
6. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
7. ¬↑qeq(q;0)
8. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
⊢ ∃q@0:ℚ [((0 ≤ (p/q) ⇐⇒ 0 ≤ q@0) ∧ |q@0 ↑ k - (p/q)| < (1/n))]
BY
{ ((Evaluate ⌜s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Evaluate ⌜b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)
   THEN ((Evaluate ⌜c = b^k - 1 ∈ ℕ+⌝⋅ THENA (Auto THEN RWO "exp-fastexp<" 0 THEN Auto))
         THEN (RWO "exp-fastexp<" (-1) THENA Auto)
         )
   THEN (Evaluate ⌜a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Evaluate ⌜d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. p : ℤ
4. q : ℤ
5. 0 < q
6. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
7. ¬↑qeq(q;0)
8. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
9. s : 𝔹
10. ¬↑s
11. ff = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
12. b : ℕ+
13. b = (q * n) ∈ ℕ+
14. c : ℕ+
15. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
16. a : ℤ
17. a = (p * n * c) ∈ ℤ
18. ℕ+ ∈ Type
⊢ c - 1 ∈ ℕ+

2
1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. p : ℤ
4. q : ℤ
5. 0 < q
6. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
7. ¬↑qeq(q;0)
8. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
9. s : 𝔹
10. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
11. b : ℕ+
12. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
13. c : ℕ+
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
⊢ ∃q@0:ℚ [((0 ≤ (p/q) ⇐⇒ 0 ≤ q@0) ∧ |q@0 ↑ k - (p/q)| < (1/n))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \{2...\}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  p  :  \mBbbZ{}
4.  q  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  q
6.  \mneg{}(q  =  0)
7.  \mneg{}\muparrow{}qeq(q;0)
8.  (0  \mleq{}  (p/q))  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
\mvdash{}  \mexists{}q@0:\mBbbQ{}  [((0  \mleq{}  (p/q)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  0  \mleq{}  q@0)  \mwedge{}  |q@0  \muparrow{}  k  -  (p/q)|  <  (1/n))]


By

---

Latex:
((Evaluate  \mkleeneopen{}s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi  \mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ((Evaluate  \mkleeneopen{}c  =  b\^{}k  -  1\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  RWO  "exp-fastexp<"  0  THEN  Auto))
              THEN  (RWO  "exp-fastexp<"  (-1)  THENA  Auto)
              )
  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}a  =  if  s  then  p  *  2  *  c  else  p  *  n  *  c  fi  \mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}d  =  (if  s  then  2  *  c  else  c  fi    -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index