---

Step * 1 2 3 of Lemma qroot


1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. p : ℤ
4. q : ℤ
5. 0 < q
6. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
7. ¬↑qeq(q;0)
8. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
9. s : 𝔹
10. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
11. b : ℕ+
12. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
13. c : ℕ+
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
19. x : ℕ
20. y : ℕ+
21. |a| * y^k < (x * b)^k
22. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
23. (0 ≤ (p/q)) ⇒ (0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y))
24. (0 ≤ (p/q)) ⇐ 0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y)
⊢ |(if p <z 0 then -x else x fi /y) ↑ k - (p/q)| < (1/n)
BY
{ Assert ⌜|a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. p : ℤ
4. q : ℤ
5. 0 < q
6. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
7. ¬↑qeq(q;0)
8. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
9. s : 𝔹
10. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
11. b : ℕ+
12. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
13. c : ℕ+
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
19. x : ℕ
20. y : ℕ+
21. |a| * y^k < (x * b)^k
22. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
23. (0 ≤ (p/q)) ⇒ (0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y))
24. (0 ≤ (p/q)) ⇐ 0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y)
⊢ |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ

2
1. k : {2...}
2. n : ℕ+
3. p : ℤ
4. q : ℤ
5. 0 < q
6. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
7. ¬↑qeq(q;0)
8. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
9. s : 𝔹
10. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
11. b : ℕ+
12. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
13. c : ℕ+
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
19. x : ℕ
20. y : ℕ+
21. |a| * y^k < (x * b)^k
22. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
23. (0 ≤ (p/q)) ⇒ (0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y))
24. (0 ≤ (p/q)) ⇐ 0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y)
25. |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
⊢ |(if p <z 0 then -x else x fi /y) ↑ k - (p/q)| < (1/n)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \{2...\}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  p  :  \mBbbZ{}
4.  q  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  q
6.  \mneg{}(q  =  0)
7.  \mneg{}\muparrow{}qeq(q;0)
8.  (0  \mleq{}  (p/q))  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
9.  s  :  \mBbbB{}
10.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
11.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
13.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  c  =  b\^{}(k  -  1)
15.  a  :  \mBbbZ{}
16.  a  =  if  s  then  p  *  2  *  c  else  p  *  n  *  c  fi 
17.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  d  =  (if  s  then  2  *  c  else  c  fi    -  1)
19.  x  :  \mBbbN{}
20.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}
21.  |a|  *  y\^{}k  <  (x  *  b)\^{}k
22.  (x  *  b)\^{}k  \mleq{}  ((|a|  +  d)  *  y\^{}k)
23.  (0  \mleq{}  (p/q))  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  /y))
24.  (0  \mleq{}  (p/q))  \mLeftarrow{}{}  0  \mleq{}  (if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  /y)
\mvdash{}  |(if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  /y)  \muparrow{}  k  -  (p/q)|  <  (1/n)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}|a|  =  if  p  <z  0  then  -a  else  a  fi  \mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index