---

Step * 2 1 of Lemma qsum-subsequence-qle


1. f : ℕ ⟶ ℚ
2. ∀n:ℕ. (0 ≤ f[n])
3. k : ℤ
4. 0 < k
5. ∀[g:ℕ(k - 1) + 1 ⟶ ℕ]
     Σ0 ≤ i < k - 1. f[g i] ≤ Σ0 ≤ i < g (k - 1). f[i] supposing ∀n:ℕ(k - 1) + 1. ∀i:ℕn.  g i < g n
6. g : ℕk + 1 ⟶ ℕ
7. ∀n:ℕk + 1. ∀i:ℕn.  g i < g n
⊢ (Σ0 ≤ i < k - 1. f[g i] + f[g (k - 1)]) ≤ Σ0 ≤ i < g k. f[i]
BY
{ TACTIC:(Subst' Σ0 ≤ i < g k. f[i] = (Σ0 ≤ i < g (k - 1). f[i] + Σg (k - 1) ≤ i < g k. f[i]) ∈ ℚ 0 THEN Auto) }

1
.....equality..... 
1. f : ℕ ⟶ ℚ
2. ∀n:ℕ. (0 ≤ f[n])
3. k : ℤ
4. 0 < k
5. ∀[g:ℕ(k - 1) + 1 ⟶ ℕ]
     Σ0 ≤ i < k - 1. f[g i] ≤ Σ0 ≤ i < g (k - 1). f[i] supposing ∀n:ℕ(k - 1) + 1. ∀i:ℕn.  g i < g n
6. g : ℕk + 1 ⟶ ℕ
7. ∀n:ℕk + 1. ∀i:ℕn.  g i < g n
⊢ Σ0 ≤ i < g k. f[i] = (Σ0 ≤ i < g (k - 1). f[i] + Σg (k - 1) ≤ i < g k. f[i]) ∈ ℚ

2
1. f : ℕ ⟶ ℚ
2. ∀n:ℕ. (0 ≤ f[n])
3. k : ℤ
4. 0 < k
5. ∀[g:ℕ(k - 1) + 1 ⟶ ℕ]
     Σ0 ≤ i < k - 1. f[g i] ≤ Σ0 ≤ i < g (k - 1). f[i] supposing ∀n:ℕ(k - 1) + 1. ∀i:ℕn.  g i < g n
6. g : ℕk + 1 ⟶ ℕ
7. ∀n:ℕk + 1. ∀i:ℕn.  g i < g n
⊢ (Σ0 ≤ i < k - 1. f[g i] + f[g (k - 1)]) ≤ (Σ0 ≤ i < g (k - 1). f[i] + Σg (k - 1) ≤ i < g k. f[i])

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbQ{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (0  \mleq{}  f[n])
3.  k  :  \mBbbZ{}
4.  0  <  k
5.  \mforall{}[g:\mBbbN{}(k  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}]
          \mSigma{}0  \mleq{}  i  <  k  -  1.  f[g  i]  \mleq{}  \mSigma{}0  \mleq{}  i  <  g  (k  -  1).  f[i]  supposing  \mforall{}n:\mBbbN{}(k  -  1)  +  1.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    g  i  <  g  n
6.  g  :  \mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}k  +  1.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    g  i  <  g  n
\mvdash{}  (\mSigma{}0  \mleq{}  i  <  k  -  1.  f[g  i]  +  f[g  (k  -  1)])  \mleq{}  \mSigma{}0  \mleq{}  i  <  g  k.  f[i]


By

---

Latex:
TACTIC:(Subst'  \mSigma{}0  \mleq{}  i  <  g  k.  f[i]  =  (\mSigma{}0  \mleq{}  i  <  g  (k  -  1).  f[i]  +  \mSigma{}g  (k  -  1)  \mleq{}  i  <  g  k.  f[i])  0
                THEN  Auto
                )

---

Home Index