---

Step * 2 2 1 1 1 of Lemma rat-complex-boundary-boundary


1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. 2 ≤ n
5. ∀[L:ℚCube(k) List]. L ~ [] supposing ∀x:ℚCube(k). (¬(x ∈ L))
6. x : ℚCube(k)
7. ↑isOdd(||filter(λc.is-rat-cube-face(k;x;c);∂(K))||)
8. dim(x) = (n - 1 - 1) ∈ ℤ
9. Σ(||filter(λv.is-rat-cube-face(k;v;t);filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K)))|| | t ∈ K)
= (Σ(||filter(λt.is-rat-cube-face(k;s;t);K)|| | s ∈ filter(λs.in-complex-boundary(k;s;K);
                                                           filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K))))
  + Σ(||filter(λt.is-rat-cube-face(k;s;t);K)|| | s ∈ filter(λs.(¬bin-complex-boundary(k;s;K));
                                                            filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K)))))
∈ ℤ
⊢ False
BY
{ (Subst' filter(λs.in-complex-boundary(k;s;K);filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K))) 
   ~ filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);∂(K)) -1
   THENA ((RWO "swap-filter-filter" 0 THENA Auto) THEN EqCD THEN Computation)
   ) }

1
1. k : ℕ
2. n : ℕ
3. K : n-dim-complex
4. 2 ≤ n
5. ∀[L:ℚCube(k) List]. L ~ [] supposing ∀x:ℚCube(k). (¬(x ∈ L))
6. x : ℚCube(k)
7. ↑isOdd(||filter(λc.is-rat-cube-face(k;x;c);∂(K))||)
8. dim(x) = (n - 1 - 1) ∈ ℤ
9. Σ(||filter(λv.is-rat-cube-face(k;v;t);filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K)))|| | t ∈ K)
= (Σ(||filter(λt.is-rat-cube-face(k;s;t);K)|| | s ∈ filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);∂(K)))
  + Σ(||filter(λt.is-rat-cube-face(k;s;t);K)|| | s ∈ filter(λs.(¬bin-complex-boundary(k;s;K));
                                                            filter(λv.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K)))))
∈ ℤ
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  K  :  n-dim-complex
4.  2  \mleq{}  n
5.  \mforall{}[L:\mBbbQ{}Cube(k)  List].  L  \msim{}  []  supposing  \mforall{}x:\mBbbQ{}Cube(k).  (\mneg{}(x  \mmember{}  L))
6.  x  :  \mBbbQ{}Cube(k)
7.  \muparrow{}isOdd(||filter(\mlambda{}c.is-rat-cube-face(k;x;c);\mpartial{}(K))||)
8.  dim(x)  =  (n  -  1  -  1)
9.  \mSigma{}(||filter(\mlambda{}v.is-rat-cube-face(k;v;t);filter(\mlambda{}v.is-rat-cube-face(k;x;v);
                                                                                                face-complex(k;K)))||  |  t  \mmember{}  K)
=  (\mSigma{}(||filter(\mlambda{}t.is-rat-cube-face(k;s;t);K)||  |  s  \mmember{}  filter(\mlambda{}s.in-complex-boundary(k;s;K);
                                                                                                                      filter(\mlambda{}v.is-rat-cube-face(k;x;v);
                                                                                                                                    face-complex(k;K))))
    +  \mSigma{}(||filter(\mlambda{}t.is-rat-cube-face(k;s;t);K)||  |  s  \mmember{}  filter(\mlambda{}s.(\mneg{}\msubb{}in-complex-boundary(k;s;K));
                                                                                                                        filter(\mlambda{}v.is-rat-cube-face(k;x;v);
                                                                                                                                      face-complex(k;K)))))
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
(Subst'  filter(\mlambda{}s.in-complex-boundary(k;s;K);filter(\mlambda{}v.is-rat-cube-face(k;x;v);face-complex(k;K))) 
  \msim{}  filter(\mlambda{}v.is-rat-cube-face(k;x;v);\mpartial{}(K))  -1
  THENA  ((RWO  "swap-filter-filter"  0  THENA  Auto)  THEN  EqCD  THEN  Computation)
  )

---

Home Index