---

Step * 1 1 of Lemma adjunction-monad_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
⊢ x |→ G (F (G (F x))) (F x) ((fst(<a1, a2>)) (F x))
  ∈ nat-trans(A;A;functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G));functor-comp(F;G))
BY
{ (MemCD THEN Try (QuickAuto)) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
8. x : cat-ob(A)@i
⊢ G (F (G (F x))) (F x) ((fst(<a1, a2>)) (F x)) ∈ cat-arrow(A) (functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)) x) 
                                             (functor-comp(F;G) x)

2
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
⊢ ∀A1,B:cat-ob(A). ∀g:cat-arrow(A) A1 B.
    ((cat-comp(A) (functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)) A1) (functor-comp(F;G) A1) (functor-comp(F;G) B) 
      (G (F (G (F A1))) (F A1) ((fst(<a1, a2>)) (F A1))) 
      (functor-comp(F;G) A1 B g))
    = (cat-comp(A) (functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)) A1) 
       (functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)) B) 
       (functor-comp(F;G) B) 
       (functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)) A1 B g) 
       (G (F (G (F B))) (F B) ((fst(<a1, a2>)) (F B))))
    ∈ (cat-arrow(A) (functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)) A1) (functor-comp(F;G) B)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  a1  :  nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6.  a2  :  nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7.  counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1,  a2>);snd(<a1,  a2>))
\mvdash{}  x  |\mrightarrow{}  G  (F  (G  (F  x)))  (F  x)  ((fst(<a1,  a2>))  (F  x))
    \mmember{}  nat-trans(A;A;functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G));functor-comp(F;G))


By

---

Latex:
(MemCD  THEN  Try  (QuickAuto))

---

Home Index