---

Step * 1 1 1 of Lemma adjunction-monad_wf

.....subterm..... T:t
1:n
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
8. x : cat-ob(A)@i
⊢ G (F (G (F x))) (F x) ((fst(<a1, a2>)) (F x)) ∈ cat-arrow(A) (functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G)) x) 
                                             (functor-comp(F;G) x)
BY
{ ((DVar `a2' THEN DVar `a1') THEN All (RepUR ``functor-comp id_functor``)) }

1
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : A:cat-ob(B) ⟶ (cat-arrow(B) (F (G A)) A)
6. ∀A,B@0:cat-ob(B). ∀g:cat-arrow(B) A B@0.
     ((cat-comp(B) (F (G A)) A B@0 (a1 A) g)
     = (cat-comp(B) (F (G A)) (F (G B@0)) B@0 (F (G A) (G B@0) (G A B@0 g)) (a1 B@0))
     ∈ (cat-arrow(B) (F (G A)) B@0))
7. a2 : A@0:cat-ob(A) ⟶ (cat-arrow(A) A@0 (G (F A@0)))
8. ∀A@0,B:cat-ob(A). ∀g:cat-arrow(A) A@0 B.
     ((cat-comp(A) A@0 (G (F A@0)) (G (F B)) (a2 A@0) (G (F A@0) (F B) (F A@0 B g)))
     = (cat-comp(A) A@0 B (G (F B)) g (a2 B))
     ∈ (cat-arrow(A) A@0 (G (F B))))
9. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
10. x : cat-ob(A)@i
⊢ G (F (G (F x))) (F x) (a1 (F x)) ∈ cat-arrow(A) (G (F (G (F x)))) (G (F x))

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
1:n
1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  a1  :  nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6.  a2  :  nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7.  counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1,  a2>);snd(<a1,  a2>))
8.  x  :  cat-ob(A)@i
\mvdash{}  G  (F  (G  (F  x)))  (F  x)  ((fst(<a1,  a2>))  (F  x))  \mmember{}  cat-arrow(A) 
                                                                                          (functor-comp(functor-comp(F;G);functor-comp(F;G))  x) 
                                                                                          (functor-comp(F;G)  x)


By

---

Latex:
((DVar  `a2'  THEN  DVar  `a1')  THEN  All  (RepUR  ``functor-comp  id\_functor``))

---

Home Index