---

Step * 2 of Lemma p-adic-bounds


1. p : ℕ+
2. a : n:ℕ+ ⟶ ℕp^n
3. ∀n:ℕ+. ((a (n + 1)) ≡ (a n) mod p^n)
4. n : ℕ+
5. 0 ≤ ((a (n + 1)) - a n)
6. c : ℤ
7. ((a (n + 1)) - a n) = (p^n * c) ∈ ℤ
⊢ (p^n * c) ≤ (p^(n + 1) - p^n)
BY
{ (((Decide ⌜c ≤ (p - 1)⌝⋅ THEN Auto) THENL [Mul ⌜p^n⌝ (-1)⋅; ((Assert p ≤ c BY Auto) THEN Mul ⌜p^n⌝ (-1)⋅)])
   THEN Auto
   ) }

1
1. p : ℕ+
2. a : n:ℕ+ ⟶ ℕp^n
3. ∀n:ℕ+. ((a (n + 1)) ≡ (a n) mod p^n)
4. n : ℕ+
5. 0 ≤ ((a (n + 1)) - a n)
6. c : ℤ
7. ((a (n + 1)) - a n) = (p^n * c) ∈ ℤ
8. ¬(c ≤ (p - 1))
9. p ≤ c
10. (p^n * p) ≤ (p^n * c)
⊢ (p^n * c) ≤ (p^(n + 1) - p^n)

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  a  :  n:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}p\^{}n
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((a  (n  +  1))  \mequiv{}  (a  n)  mod  p\^{}n)
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  0  \mleq{}  ((a  (n  +  1))  -  a  n)
6.  c  :  \mBbbZ{}
7.  ((a  (n  +  1))  -  a  n)  =  (p\^{}n  *  c)
\mvdash{}  (p\^{}n  *  c)  \mleq{}  (p\^{}(n  +  1)  -  p\^{}n)


By

---

Latex:
(((Decide  \mkleeneopen{}c  \mleq{}  (p  -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)
    THENL  [Mul  \mkleeneopen{}p\^{}n\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{};  ((Assert  p  \mleq{}  c  BY  Auto)  THEN  Mul  \mkleeneopen{}p\^{}n\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{})]
  )
  THEN  Auto
  )

---

Home Index