---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma shift-greatest-p-zero-unit


1. p : ℕ+
2. a : p-adics(p)
3. n : ℕ+
4. ¬((a n) = 0 ∈ ℤ)
5. 0 < greatest-p-zero(n;a)
6. greatest-p-zero(n;a) ≤ n
7. ∀i:ℕ+n + 1. (((i ≤ greatest-p-zero(n;a)) ⇒ ((a i) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (greatest-p-zero(n;a) < i ⇒ (¬((a i) = 0 ∈ ℤ))))
8. (a greatest-p-zero(n;a)) = 0 ∈ ℤ
9. ¬(greatest-p-zero(n;a) = n ∈ ℤ)
10. ((a (1 + greatest-p-zero(n;a))) ÷ p^greatest-p-zero(n;a)) = 0 ∈ ℤ
⊢ (a (1 + greatest-p-zero(n;a))) = 0 ∈ ℤ
BY
{ ((MoveToConcl (-1) THEN MoveToConcl (-2))
   THEN (GenConcl ⌜greatest-p-zero(n;a) = k ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConclTerm ⌜a (1 + k)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert 0 < p^k BY
               Auto)
   THEN RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (Assert v = (v rem p^k) ∈ ℤ BY
               ((InstLemma `div_rem_sum` [⌜v⌝;⌜p^k⌝]⋅ THENA Auto) THEN HypSubst' (-2) (-1) THEN Auto))
   THEN (InstLemma `rem_bounds_1` [⌜v⌝;⌜p^k⌝]⋅ THENA Auto)) }

1
1. p : ℕ+
2. a : p-adics(p)
3. n : ℕ+
4. ¬((a n) = 0 ∈ ℤ)
5. 0 < greatest-p-zero(n;a)
6. greatest-p-zero(n;a) ≤ n
7. ∀i:ℕ+n + 1. (((i ≤ greatest-p-zero(n;a)) ⇒ ((a i) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (greatest-p-zero(n;a) < i ⇒ (¬((a i) = 0 ∈ ℤ))))
8. ¬(greatest-p-zero(n;a) = n ∈ ℤ)
9. k : ℕ+
10. greatest-p-zero(n;a) = k ∈ ℕ+
11. v : ℕp^(1 + k)
12. (a (1 + k)) = v ∈ ℕp^(1 + k)
13. 0 < p^k
14. (a k) = 0 ∈ ℤ
15. (v ÷ p^k) = 0 ∈ ℤ
16. v = (v rem p^k) ∈ ℤ
17. (0 ≤ (v rem p^k)) ∧ v rem p^k < p^k
⊢ v = 0 ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  a  :  p-adics(p)
3.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  \mneg{}((a  n)  =  0)
5.  0  <  greatest-p-zero(n;a)
6.  greatest-p-zero(n;a)  \mleq{}  n
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}\msupplus{}n  +  1
          (((i  \mleq{}  greatest-p-zero(n;a))  {}\mRightarrow{}  ((a  i)  =  0))  \mwedge{}  (greatest-p-zero(n;a)  <  i  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}((a  i)  =  0))))
8.  (a  greatest-p-zero(n;a))  =  0
9.  \mneg{}(greatest-p-zero(n;a)  =  n)
10.  ((a  (1  +  greatest-p-zero(n;a)))  \mdiv{}  p\^{}greatest-p-zero(n;a))  =  0
\mvdash{}  (a  (1  +  greatest-p-zero(n;a)))  =  0


By

---

Latex:
((MoveToConcl  (-1)  THEN  MoveToConcl  (-2))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}greatest-p-zero(n;a)  =  k\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}a  (1  +  k)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  0  <  p\^{}k  BY
                          Auto)
  THEN  RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  v  =  (v  rem  p\^{}k)  BY
                          ((InstLemma  `div\_rem\_sum`  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\^{}k\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  HypSubst'  (-2)  (-1)  THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `rem\_bounds\_1`  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\^{}k\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index