---

Step * 1 1 1 1 of Lemma consensus-safety1


1. V : Type@i'
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}@i
4. ∀L:V List. Dec(∃v:V. (¬(v ∈ L)))@i
5. A : Id List@i
6. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
7. ||W|| ≥ 1 @i
8. two-intersection(A;W)@i
9. f : ConsensusState ⟶ (consensus-state3(V) List)
10. cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)
11. ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts3(V);(λx.if cs-is-decided(x) then x else UNDECIDED fi )
                   o (λL.cs-ref-map3(L)))
12. ts-refinement(consensus-ts3(V);consensus-ts4(V;A;W);f)
13. ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);((λx.if cs-is-decided(x) then x else UNDECIDED fi )
                   o (λL.cs-ref-map3(L))) o f)
⊢ ∃f:ConsensusState ⟶ consensus-state1(V)
   ((∀v:V. ∀s:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
       ((f s) = Decided[v] ∈ consensus-state1(V) ⇐⇒ ∃i:ℕ. in state s, inning i has committed v))
   ∧ ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);f))
BY
{ (InstConcl [⌜((λx.if cs-is-decided(x) then x else UNDECIDED fi ) o (λL.cs-ref-map3(L))) o f⌝]⋅⋅ THENA Auto) }

1
1. V : Type@i'
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}@i
4. ∀L:V List. Dec(∃v:V. (¬(v ∈ L)))@i
5. A : Id List@i
6. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
7. ||W|| ≥ 1 @i
8. two-intersection(A;W)@i
9. f : ConsensusState ⟶ (consensus-state3(V) List)
10. cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)
11. ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts3(V);(λx.if cs-is-decided(x) then x else UNDECIDED fi )
                   o (λL.cs-ref-map3(L)))
12. ts-refinement(consensus-ts3(V);consensus-ts4(V;A;W);f)
13. ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);((λx.if cs-is-decided(x) then x else UNDECIDED fi )
                   o (λL.cs-ref-map3(L))) o f)
⊢ (∀v:V. ∀s:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
     (((((λx.if cs-is-decided(x) then x else UNDECIDED fi ) o (λL.cs-ref-map3(L))) o f) s)
      = Decided[v]
      ∈ consensus-state1(V)
     ⇐⇒ ∃i:ℕ. in state s, inning i has committed v))
∧ ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);((λx.if cs-is-decided(x) then x else UNDECIDED fi )
                 o (λL.cs-ref-map3(L))) o f)

---

Latex:

---

Latex:

1.  V  :  Type@i'
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  \{\mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))\}@i
4.  \mforall{}L:V  List.  Dec(\mexists{}v:V.  (\mneg{}(v  \mmember{}  L)))@i
5.  A  :  Id  List@i
6.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
7.  ||W||  \mgeq{}  1  @i
8.  two-intersection(A;W)@i
9.  f  :  ConsensusState  {}\mrightarrow{}  (consensus-state3(V)  List)
10.  cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)
11.  ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts3(V);
                                    (\mlambda{}x.if  cs-is-decided(x)  then  x  else  UNDECIDED  fi  )  o  (\mlambda{}L.cs-ref-map3(L)))
12.  ts-refinement(consensus-ts3(V);consensus-ts4(V;A;W);f)
13.  ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);((\mlambda{}x.if  cs-is-decided(x)
                                                                                                                          then  x
                                                                                                                          else  UNDECIDED
                                                                                                                          fi  )  o  (\mlambda{}L.cs-ref-map3(L)))  o  f)
\mvdash{}  \mexists{}f:ConsensusState  {}\mrightarrow{}  consensus-state1(V)
      ((\mforall{}v:V.  \mforall{}s:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
              ((f  s)  =  Decided[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}i:\mBbbN{}.  in  state  s,  inning  i  has  committed  v))
      \mwedge{}  ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);f))


By

---

Latex:
(InstConcl  [\mkleeneopen{}((\mlambda{}x.if  cs-is-decided(x)  then  x  else  UNDECIDED  fi  )  o  (\mlambda{}L.cs-ref-map3(L)))  o  f\mkleeneclose{}]\mcdot{}\mcdot{}
  THENA  Auto
  )

---

Home Index