---

Step * 3 1 2 2 1 1 2 of Lemma consensus-ts5-archive-invariant


1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v2 : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v2 = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. x1 : ConsensusState@i
9. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
10. [%3] : ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <x1, x2>@i
11. y1 : ConsensusState@i
12. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
13. [%5] : ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <y1, y2>@i
14. ∀v:V. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ∀i:ℤ.
      (state x1 may consider v in inning i) supposing ((Estimate(x1;b)(i) = v ∈ V) and (↑i ∈ dom(Estimate(x1;b))))@i
15. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
16. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
17. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
18. Knowledge(y2;a) = Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)@i
19. ¬(Inning(x1;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
20. v1 : V@i
21. may consider v1 in inning Inning(x1;a) based on knowledge (Knowledge(x2;a))@i
22. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ⊕ Inning(x1;a) : v1 ∈ i:ℤ fp-> V@i
23. v : V@i
24. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
25. i : ℤ@i
26. ↑i ∈ dom(Estimate(y1;b))
27. Estimate(y1;b)(i) = v ∈ V
28. ¬(v1 = v ∈ V)
29. ↑i ∈ dom(Estimate(x1;b))
30. Estimate(x1;b)(i) = v ∈ V
31. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List
32. (ws ∈ W)
33. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ((b ∈ ws) ⇒ (i ≤ Inning(x1;b)))
34. ∀ws':{a:Id| (a ∈ A)}  List. ((ws' ∈ W) ⇒ (¬in state x1, ws' blocks ws from archiving v in inning i))
35. (ws ∈ W)
36. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ((b ∈ ws) ⇒ (i ≤ Inning(y1;b)))
⊢ ∀ws':{a:Id| (a ∈ A)}  List. ((ws' ∈ W) ⇒ (¬in state y1, ws' blocks ws from archiving v in inning i))
BY
{ (ParallelOp -3
   THEN RepeatFor 3 (ParallelLast)
   THEN ExRepD
   THEN ((InstConcl [⌜j⌝]⋅ THENA Auto) THEN Auto)
   THEN (InstConcl [⌜v3⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D 0
   THEN Try (Trivial)) }

1
1. V : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v2 : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v2 = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. x1 : ConsensusState@i
9. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
10. ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <x1, x2>@i
11. y1 : ConsensusState@i
12. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
13. ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <y1, y2>@i
14. ∀v:V. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ∀i:ℤ.
      (state x1 may consider v in inning i) supposing ((Estimate(x1;b)(i) = v ∈ V) and (↑i ∈ dom(Estimate(x1;b))))@i
15. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
16. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
17. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
18. Knowledge(y2;a) = Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)@i
19. ¬(Inning(x1;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
20. v1 : V@i
21. may consider v1 in inning Inning(x1;a) based on knowledge (Knowledge(x2;a))@i
22. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ⊕ Inning(x1;a) : v1 ∈ i:ℤ fp-> V@i
23. v : V@i
24. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
25. i : ℤ@i
26. ↑i ∈ dom(Estimate(y1;b))
27. Estimate(y1;b)(i) = v ∈ V
28. ¬(v1 = v ∈ V)
29. ↑i ∈ dom(Estimate(x1;b))
30. Estimate(x1;b)(i) = v ∈ V
31. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List
32. (ws ∈ W)
33. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ((b ∈ ws) ⇒ (i ≤ Inning(x1;b)))
34. ∀ws':{a:Id| (a ∈ A)}  List. ((ws' ∈ W) ⇒ (¬in state x1, ws' blocks ws from archiving v in inning i))
35. (ws ∈ W)
36. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ((b ∈ ws) ⇒ (i ≤ Inning(y1;b)))
37. ws' : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
38. (ws' ∈ W)@i
39. j : ℤ@i
40. 0 ≤ j@i
41. j < i@i
42. v3 : V@i
43. ¬(v3 = v ∈ V)@i
44. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      (((b ∈ ws) ∧ (b ∈ ws'))
      ⇒ ((↑j ∈ dom(Estimate(y1;b)))
         ∧ (Estimate(y1;b)(j) = v3 ∈ V)
         ∧ (∀k:ℤ. (((j < k ∧ k < i) ∧ (↑k ∈ dom(Estimate(y1;b)))) ⇒ (Estimate(y1;b)(k) = v3 ∈ V)))))@i
45. 0 ≤ j
46. j < i
⊢ ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
    (((b ∈ ws) ∧ (b ∈ ws'))
    ⇒ ((↑j ∈ dom(Estimate(x1;b)))
       ∧ (Estimate(x1;b)(j) = v3 ∈ V)
       ∧ (∀k:ℤ. (((j < k ∧ k < i) ∧ (↑k ∈ dom(Estimate(x1;b)))) ⇒ (Estimate(x1;b)(k) = v3 ∈ V)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [V]  :  Type
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  v2  :  V@i
4.  v'  :  V@i
5.  \mneg{}(v2  =  v')@i
6.  A  :  Id  List@i
7.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
8.  x1  :  ConsensusState@i
9.  x2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
10.  [\%3]  :  ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) 
                      (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))\^{}*) 
                      <x1,  x2>@i
11.  y1  :  ConsensusState@i
12.  y2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
13.  [\%5]  :  ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) 
                      (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))\^{}*) 
                      <y1,  y2>@i
14.  \mforall{}v:V.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  \mforall{}i:\mBbbZ{}.
            (state  x1  may  consider  v  in  inning  i)  supposing 
                  ((Estimate(x1;b)(i)  =  v)  and 
                  (\muparrow{}i  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b))))@i
15.  a  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
16.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((\mneg{}(b  =  a))
            {}\mRightarrow{}  ((Inning(y1;b)  =  Inning(x1;b))
                  \mwedge{}  (Estimate(y1;b)  =  Estimate(x1;b))
                  \mwedge{}  (Knowledge(y2;b)  =  Knowledge(x2;b))))@i
17.  Inning(y1;a)  =  Inning(x1;a)@i
18.  Knowledge(y2;a)  =  Knowledge(x2;a)@i
19.  \mneg{}(Inning(x1;a)  \mmember{}  fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
20.  v1  :  V@i
21.  may  consider  v1  in  inning  Inning(x1;a)  based  on  knowledge  (Knowledge(x2;a))@i
22.  Estimate(y1;a)  =  Estimate(x1;a)  \moplus{}  Inning(x1;a)  :  v1@i
23.  v  :  V@i
24.  b  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
25.  i  :  \mBbbZ{}@i
26.  \muparrow{}i  \mmember{}  dom(Estimate(y1;b))
27.  Estimate(y1;b)(i)  =  v
28.  \mneg{}(v1  =  v)
29.  \muparrow{}i  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b))
30.  Estimate(x1;b)(i)  =  v
31.  ws  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List
32.  (ws  \mmember{}  W)
33.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  ((b  \mmember{}  ws)  {}\mRightarrow{}  (i  \mleq{}  Inning(x1;b)))
34.  \mforall{}ws':\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List
            ((ws'  \mmember{}  W)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}in  state  x1,  ws'  blocks  ws  from  archiving  v  in  inning  i))
35.  (ws  \mmember{}  W)
36.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  ((b  \mmember{}  ws)  {}\mRightarrow{}  (i  \mleq{}  Inning(y1;b)))
\mvdash{}  \mforall{}ws':\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List
        ((ws'  \mmember{}  W)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}in  state  y1,  ws'  blocks  ws  from  archiving  v  in  inning  i))


By

---

Latex:
(ParallelOp  -3
  THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast)
  THEN  ExRepD
  THEN  ((InstConcl  [\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  Auto)
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}v3\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  0
  THEN  Try  (Trivial))

---

Home Index