---

Step * 1 1 1 1 1 3 1 of Lemma lg-acyclic-well-founded

.....wf..... 
1. T : Type
2. n : ℤ@i
3. 0 < n@i
4. ∀g:LabeledGraph(T). (lg-size(g) < n - 1 ⇒ lg-acyclic(g) ⇒ SWellFounded(lg-edge(g;a;b)))@i
5. g : LabeledGraph(T)@i
6. lg-size(g) < n@i
7. lg-acyclic(g)@i
8. 0 < lg-size(g)
9. i : ℕlg-size(g)
10. ∀[j:ℕlg-size(g)]. (¬lg-edge(g;j;i))
11. f : ℕlg-size(lg-remove(g;i)) ⟶ ℕ
12. ∀a,b:ℕlg-size(lg-remove(g;i)).  (lg-edge(lg-remove(g;i);a;b) ⇒ f a < f b)
⊢ λx.if x <z i then (f x) + 1
     if (x =z i) then 0
     else (f (x - 1)) + 1
     fi  ∈ ℕlg-size(g) ⟶ ℕ
BY
{ (MemCD THENA Auto) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. T : Type
2. n : ℤ@i
3. 0 < n@i
4. ∀g:LabeledGraph(T). (lg-size(g) < n - 1 ⇒ lg-acyclic(g) ⇒ SWellFounded(lg-edge(g;a;b)))@i
5. g : LabeledGraph(T)@i
6. lg-size(g) < n@i
7. lg-acyclic(g)@i
8. 0 < lg-size(g)
9. i : ℕlg-size(g)
10. ∀[j:ℕlg-size(g)]. (¬lg-edge(g;j;i))
11. f : ℕlg-size(lg-remove(g;i)) ⟶ ℕ
12. ∀a,b:ℕlg-size(lg-remove(g;i)).  (lg-edge(lg-remove(g;i);a;b) ⇒ f a < f b)
13. x : ℕlg-size(g)@i
⊢ if x <z i then (f x) + 1
  if (x =z i) then 0
  else (f (x - 1)) + 1
  fi  ∈ ℕ

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  T  :  Type
2.  n  :  \mBbbZ{}@i
3.  0  <  n@i
4.  \mforall{}g:LabeledGraph(T).  (lg-size(g)  <  n  -  1  {}\mRightarrow{}  lg-acyclic(g)  {}\mRightarrow{}  SWellFounded(lg-edge(g;a;b)))@i
5.  g  :  LabeledGraph(T)@i
6.  lg-size(g)  <  n@i
7.  lg-acyclic(g)@i
8.  0  <  lg-size(g)
9.  i  :  \mBbbN{}lg-size(g)
10.  \mforall{}[j:\mBbbN{}lg-size(g)].  (\mneg{}lg-edge(g;j;i))
11.  f  :  \mBbbN{}lg-size(lg-remove(g;i))  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
12.  \mforall{}a,b:\mBbbN{}lg-size(lg-remove(g;i)).    (lg-edge(lg-remove(g;i);a;b)  {}\mRightarrow{}  f  a  <  f  b)
\mvdash{}  \mlambda{}x.if  x  <z  i  then  (f  x)  +  1
          if  (x  =\msubz{}  i)  then  0
          else  (f  (x  -  1))  +  1
          fi    \mmember{}  \mBbbN{}lg-size(g)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}


By

---

Latex:
(MemCD  THENA  Auto)

---

Home Index