---

Step * 1 of Lemma new_23_sig_quorum_state_eq1


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. notify : Atom List@i
3. propose : Atom List@i
4. f : new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)@i'
5. (f propose) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
6. (f notify) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
7. (f ``new_23_sig decided``) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
8. (f ``new_23_sig retry``) = (ℤ × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``new_23_sig vote``) = (ℤ × ℤ × Cmd × Id) ∈ Type
10. f ∈ Name ─→ Type
11. es : EO+(Message(f))@i'
12. e : E@i
13. n : ℤ@i
14. r : ℤ@i
⊢ new_23_sig_QuorumStateFun(Cmd;notify;propose;f;<n, r>;es;e)
= <rev(mapfilter(λe.(snd(fst(msgval(e))));
                 λe.new_23_sig_vote_with_ballot_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                 [es-init(es;e);e)))
  , rev(mapfilter(λe.(snd(msgval(e)));
                  λe.new_23_sig_vote_with_ballot_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                  [es-init(es;e);e)))
  >
∈ (Cmd List × (Id List))
BY
{ (MoveToConcl (-3)
   THEN CausalInd'
   THEN (Decide ⌈↑first(e)⌉⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "new_23_sig_quorum_state_fun_eq" 0
         THENA (Auto THEN AllReduce THEN FLemma `new_23_sig_vote_with_ballot_first-assert-type` [-1] THEN Auto)
         )) }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. notify : Atom List@i
3. propose : Atom List@i
4. f : new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)@i'
5. (f propose) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
6. (f notify) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
7. (f ``new_23_sig decided``) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
8. (f ``new_23_sig retry``) = (ℤ × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``new_23_sig vote``) = (ℤ × ℤ × Cmd × Id) ∈ Type
10. f ∈ Name ─→ Type
11. es : EO+(Message(f))@i'
12. n : ℤ@i
13. r : ℤ@i
14. e : E@i
15. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (new_23_sig_QuorumStateFun(Cmd;notify;propose;f;<n, r>;es;e1)
         = <rev(mapfilter(λe.(snd(fst(msgval(e))));
                          λe.new_23_sig_vote_with_ballot_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                          [es-init(es;e1);e1)))
           , rev(mapfilter(λe.(snd(msgval(e)));
                           λe.new_23_sig_vote_with_ballot_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                           [es-init(es;e1);e1)))
           >
         ∈ (Cmd List × (Id List))))
16. ↑first(e)
⊢ if first(e) then <[], []>
if pred(e) ∈b new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)
  then new_23_sig_add_to_quorum(Cmd) <n, r> loc(e) new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)@pred(e) 
       new_23_sig_QuorumStateFun(Cmd;notify;propose;f;<n, r>;es;pred(e))
else new_23_sig_QuorumStateFun(Cmd;notify;propose;f;<n, r>;es;pred(e))
fi 
= <rev(mapfilter(λe.(snd(fst(msgval(e))));
                 λe.new_23_sig_vote_with_ballot_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                 [es-init(es;e);e)))
  , rev(mapfilter(λe.(snd(msgval(e)));
                  λe.new_23_sig_vote_with_ballot_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                  [es-init(es;e);e)))
  >
∈ (Cmd List × (Id List))

2
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. notify : Atom List@i
3. propose : Atom List@i
4. f : new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)@i'
5. (f propose) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
6. (f notify) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
7. (f ``new_23_sig decided``) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
8. (f ``new_23_sig retry``) = (ℤ × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``new_23_sig vote``) = (ℤ × ℤ × Cmd × Id) ∈ Type
10. f ∈ Name ─→ Type
11. es : EO+(Message(f))@i'
12. n : ℤ@i
13. r : ℤ@i
14. e : E@i
15. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (new_23_sig_QuorumStateFun(Cmd;notify;propose;f;<n, r>;es;e1)
         = <rev(mapfilter(λe.(snd(fst(msgval(e))));
                          λe.new_23_sig_vote_with_ballot_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                          [es-init(es;e1);e1)))
           , rev(mapfilter(λe.(snd(msgval(e)));
                           λe.new_23_sig_vote_with_ballot_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                           [es-init(es;e1);e1)))
           >
         ∈ (Cmd List × (Id List))))
16. ¬↑first(e)
⊢ if first(e) then <[], []>
if pred(e) ∈b new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)
  then new_23_sig_add_to_quorum(Cmd) <n, r> loc(e) new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)@pred(e) 
       new_23_sig_QuorumStateFun(Cmd;notify;propose;f;<n, r>;es;pred(e))
else new_23_sig_QuorumStateFun(Cmd;notify;propose;f;<n, r>;es;pred(e))
fi 
= <rev(mapfilter(λe.(snd(fst(msgval(e))));
                 λe.new_23_sig_vote_with_ballot_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                 [es-init(es;e);e)))
  , rev(mapfilter(λe.(snd(msgval(e)));
                  λe.new_23_sig_vote_with_ballot_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                  [es-init(es;e);e)))
  >
∈ (Cmd List × (Id List))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  notify  :  Atom  List@i
3.  propose  :  Atom  List@i
4.  f  :  new\_23\_sig\_headers\_type\{i:l\}(Cmd;notify;propose)@i'
5.  (f  propose)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
6.  (f  notify)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
7.  (f  ``new\_23\_sig  decided``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
8.  (f  ``new\_23\_sig  retry``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``new\_23\_sig  vote``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd  \mtimes{}  Id)
10.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
11.  es  :  EO+(Message(f))@i'
12.  e  :  E@i
13.  n  :  \mBbbZ{}@i
14.  r  :  \mBbbZ{}@i
\mvdash{}  new\_23\_sig\_QuorumStateFun(Cmd;notify;propose;f;<n,  r>es;e)
=  <rev(mapfilter(\mlambda{}e.(snd(fst(msgval(e))));
                                  \mlambda{}e.new\_23\_sig\_vote\_with\_ballot\_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                                  [es-init(es;e);e)))
    ,  rev(mapfilter(\mlambda{}e.(snd(msgval(e)));
                                    \mlambda{}e.new\_23\_sig\_vote\_with\_ballot\_first(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;r);
                                    [es-init(es;e);e)))
    >


By

---

Latex:
(MoveToConcl  (-3)
  THEN  CausalInd'
  THEN  (Decide  \mkleeneopen{}\muparrow{}first(e)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "new\_23\_sig\_quorum\_state\_fun\_eq"  0
              THENA  (Auto
                            THEN  AllReduce
                            THEN  FLemma  `new\_23\_sig\_vote\_with\_ballot\_first-assert-type`  [-1]
                            THEN  Auto)
              ))

---

Home Index