Proof of Nuprl Lemma : Accum-class-progress

Step * 1 1 of Lemma Accum-class-progress

1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. P : A ─→ B ─→ ℙ@i'
6. f : A ─→ B ─→ B@i
7. init : Id ─→ bag(B)@i
8. X : EClass(A)@i'
9. es : EO+(Info)@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:B.
            ((∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s]))
            ⇒ Trans(B;x,y.R[x;y])
            ⇒ (∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2]))
            ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
                  ((e1 <loc e)
                  ⇒ e ≤loc e'
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
                  ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B)))))
            ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
            ⇒ v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)
            ⇒ v2 ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃a:A

                    ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

               ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ∀s:B.
                     ((e1 <loc e)
                     ⇒ e ≤loc e'
                     ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
                     ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
                 ⇒ (v1 = v2 ∈ B))))))
13. v1 : B@i
14. v2 : B@i
15. ∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s])@i
16. Trans(B;x,y.R[x;y])@i
17. ∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2])@i
18. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
      ((e1 <loc e)
      ⇒ e ≤loc e2
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B))))@i
19. single-valued-classrel(es;X;A)@i
20. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
21. v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)@i
22. a : A
23. b : B
24. v2 = (f a b) ∈ B
25. e' : E
26. (e' <loc e2)
27. ↓∃w:B. w ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
28. ∀e'':E. ((e'' <loc e2) ⇒ (e' <loc e'') ⇒ (¬↓∃w:B. w ∈ Accum-class(f;init;X)(e'')))
29. b ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
30. a ∈ X(e2)
31. (e1 <loc e2)@i
32. b ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e2)
33. (e1 <loc e')

34. ((∃e:E. ∃a:A. ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

⇒ R[v1;b])
∧ ((∀e:E. ∀s:B.
((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e' ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = b ∈ B))

⊢ ((∃e:E. ∃a:A. ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:B.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
  ⇒ (v1 = v2 ∈ B))
BY
{ (Auto THEN ExRepD) }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. P : A ─→ B ─→ ℙ@i'
6. f : A ─→ B ─→ B@i
7. init : Id ─→ bag(B)@i
8. X : EClass(A)@i'
9. es : EO+(Info)@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:B.
            ((∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s]))
            ⇒ Trans(B;x,y.R[x;y])
            ⇒ (∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2]))
            ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
                  ((e1 <loc e)
                  ⇒ e ≤loc e'
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
                  ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B)))))
            ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
            ⇒ v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)
            ⇒ v2 ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃a:A

                    ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

34. (∃e:E. ∃a:A. ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

⇒ R[v1;b]
35. (∀e:E. ∀s:B.
       ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = b ∈ B)
36. e : E@i
37. a1 : A@i
38. s : B@i
39. (e1 <loc e)@i
40. e ≤loc e2 @i
41. s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)@i
42. a1 ∈ X(e)@i
43. P[a1;s]@i
⊢ R[v1;v2]

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. P : A ─→ B ─→ ℙ@i'
6. f : A ─→ B ─→ B@i
7. init : Id ─→ bag(B)@i
8. X : EClass(A)@i'
9. es : EO+(Info)@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:B.
            ((∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s]))
            ⇒ Trans(B;x,y.R[x;y])
            ⇒ (∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2]))
            ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
                  ((e1 <loc e)
                  ⇒ e ≤loc e'
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
                  ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B)))))
            ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
            ⇒ v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)
            ⇒ v2 ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃a:A

                    ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

               ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ∀s:B.
                     ((e1 <loc e)
                     ⇒ e ≤loc e'
                     ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
                     ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
                 ⇒ (v1 = v2 ∈ B))))))
13. v1 : B@i
14. v2 : B@i
15. ∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s])@i
16. Trans(B;x,y.R[x;y])@i
17. ∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2])@i
18. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
      ((e1 <loc e)
      ⇒ e ≤loc e2
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B))))@i
19. single-valued-classrel(es;X;A)@i
20. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
21. v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)@i
22. a : A
23. b : B
24. v2 = (f a b) ∈ B
25. e' : E
26. (e' <loc e2)
27. w : B
28. w ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
29. ∀e'':E. ((e'' <loc e2) ⇒ (e' <loc e'') ⇒ (¬↓∃w:B. w ∈ Accum-class(f;init;X)(e'')))
30. b ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
31. a ∈ X(e2)
32. (e1 <loc e2)@i
33. b ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e2)
34. (e1 <loc e')

35. (∃e:E. ∃a:A. ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

⇒ R[v1;b]
36. (∀e:E. ∀s:B.
((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e' ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = b ∈ B)

37. (∃e:E. ∃a:A. ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

⇒ R[v1;v2]
38. ∀e:E. ∀s:B.
((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2 ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s]))))@i
⊢ v1 = v2 ∈ B

Latex:

Latex:
1. Info : Type 2. B : Type 3. A : Type 4. R : B {}\mrightarrow{} B {}\mrightarrow{} \mBbbP{}@i' 5. P : A {}\mrightarrow{} B {}\mrightarrow{} \mBbbP{}@i' 6. f : A {}\mrightarrow{} B {}\mrightarrow{} B@i 7. init : Id {}\mrightarrow{} bag(B)@i 8. X : EClass(A)@i' 9. es : EO+(Info)@i' 10. e1 : E@i 11. e2 : E@i 12. \mforall{}e':E ((e' < e2) {}\mRightarrow{} (\mforall{}v1,v2:B. ((\mforall{}a:A. \mforall{}s:B. Dec(P[a;s])) {}\mRightarrow{} Trans(B;x,y.R[x;y]) {}\mRightarrow{} (\mforall{}s1,s2:B. SqStable(R[s1;s2])) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. \mforall{}e:E. \mforall{}s:B. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e' {}\mRightarrow{} a \mmember{} X(e) {}\mRightarrow{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) {}\mRightarrow{} ((P[a;s] {}\mRightarrow{} R[s;f a s]) \mwedge{} ((\mneg{}P[a;s]) {}\mRightarrow{} (s = (f a s)))))) {}\mRightarrow{} single-valued-classrel(es;X;A) {}\mRightarrow{} single-valued-bag(init loc(e1);B) {}\mRightarrow{} v1 \mmember{} Accum-class(f;init;X)(e1) {}\mRightarrow{} v2 \mmember{} Accum-class(f;init;X)(e') {}\mRightarrow{} (e1 <loc e') {}\mRightarrow{} (((\mexists{}e:E \mexists{}a:A \mexists{}s:B ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc e' \mwedge{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) \mwedge{} a \mmember{} X(e) \mwedge{} P[a;s])) {}\mRightarrow{} R[v1;v2]) \mwedge{} ((\mforall{}e:E. \mforall{}s:B. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e' {}\mRightarrow{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. ((\mneg{}a \mmember{} X(e)) \mvee{} (\mneg{}P[a;s]))))) {}\mRightarrow{} (v1 = v2)))))) 13. v1 : B@i 14. v2 : B@i 15. \mforall{}a:A. \mforall{}s:B. Dec(P[a;s])@i 16. Trans(B;x,y.R[x;y])@i 17. \mforall{}s1,s2:B. SqStable(R[s1;s2])@i 18. \mforall{}a:A. \mforall{}e:E. \mforall{}s:B. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2 {}\mRightarrow{} a \mmember{} X(e) {}\mRightarrow{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) {}\mRightarrow{} ((P[a;s] {}\mRightarrow{} R[s;f a s]) \mwedge{} ((\mneg{}P[a;s]) {}\mRightarrow{} (s = (f a s)))))@i 19. single-valued-classrel(es;X;A)@i 20. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i 21. v1 \mmember{} Accum-class(f;init;X)(e1)@i 22. a : A 23. b : B 24. v2 = (f a b) 25. e' : E 26. (e' <loc e2) 27. \mdownarrow{}\mexists{}w:B. w \mmember{} Accum-class(f;init;X)(e') 28. \mforall{}e'':E. ((e'' <loc e2) {}\mRightarrow{} (e' <loc e'') {}\mRightarrow{} (\mneg{}\mdownarrow{}\mexists{}w:B. w \mmember{} Accum-class(f;init;X)(e''))) 29. b \mmember{} Accum-class(f;init;X)(e') 30. a \mmember{} X(e2) 31. (e1 <loc e2)@i 32. b \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e2) 33. (e1 <loc e') 34. ((\mexists{}e:E \mexists{}a:A \mexists{}s:B ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc e' \mwedge{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) \mwedge{} a \mmember{} X(e) \mwedge{} P[a;s])) {}\mRightarrow{} R[v1;b]) \mwedge{} ((\mforall{}e:E. \mforall{}s:B. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e' {}\mRightarrow{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. ((\mneg{}a \mmember{} X(e)) \mvee{} (\mneg{}P[a;s]))))) {}\mRightarrow{} (v1 = b)) \mvdash{} ((\mexists{}e:E \mexists{}a:A \mexists{}s:B ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc e2 \mwedge{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) \mwedge{} a \mmember{} X(e) \mwedge{} P[a;s])) {}\mRightarrow{} R[v1;v2]) \mwedge{} ((\mforall{}e:E. \mforall{}s:B. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2 {}\mRightarrow{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. ((\mneg{}a \mmember{} X(e)) \mvee{} (\mneg{}P[a;s]))))) {}\mRightarrow{} (v1 = v2)) By Latex: (Auto THEN ExRepD) Home Index