---

Step * 1 2 of Lemma Memory-class-trans1


1. [Info] : Type
2. [B] : Type
3. [A] : Type
4. R : B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. f : A ─→ B ─→ B@i
6. init : Id ─→ bag(B)@i
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. Trans(B;x,y.R[x;y])@i
14. ∀a:A. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ (e <loc e2) ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:B. (s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[s;f a s])))@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
17. ↓((↑first(e1)) ∧ v1 ↓∈ init loc(e1)) ∨ ((¬↑first(e1)) ∧ iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e1);v1))
18. ↓((↑first(e2)) ∧ v2 ↓∈ init loc(e2)) ∨ ((¬↑first(e2)) ∧ iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2))
19. (e1 <loc e2)@i
20. e : E@i
21. e1 ≤loc e @i
22. (e <loc e2)@i
23. a : A@i
24. a ∈ X(e)@i
25. ¬↑first(e2)
26. ↑first(e1)
27. iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2)
28. ¬(∃v:A. v ∈ X(e1))
⊢ R[v1;v2]
BY
{ ((Assert ⌈iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;e1;v1)⌉⋅
    THENA (Unsquash
           THEN SplitOrHyps
           THEN Auto
           THEN RecUnfold `iterated-classrel` 0
           THEN InstConcl [⌈v1⌉]⋅
           THEN MaAuto
           THEN OrRight
           THEN Auto
           THEN ParallelOp -3
           THEN MaAuto)
    )
   THEN InstLemma `es-pred_property` [⌈es⌉;⌈e2⌉]⋅
   THEN Auto
   THEN (InstHyp [⌈e1⌉] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN D (-1)) }

1
1. [Info] : Type
2. [B] : Type
3. [A] : Type
4. R : B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. f : A ─→ B ─→ B@i
6. init : Id ─→ bag(B)@i
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. Trans(B;x,y.R[x;y])@i
14. ∀a:A. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ (e <loc e2) ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:B. (s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[s;f a s])))@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
17. ↓((↑first(e1)) ∧ v1 ↓∈ init loc(e1)) ∨ ((¬↑first(e1)) ∧ iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e1);v1))
18. ↓((↑first(e2)) ∧ v2 ↓∈ init loc(e2)) ∨ ((¬↑first(e2)) ∧ iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2))
19. (e1 <loc e2)@i
20. e : E@i
21. e1 ≤loc e @i
22. (e <loc e2)@i
23. a : A@i
24. a ∈ X(e)@i
25. ¬↑first(e2)
26. ↑first(e1)
27. iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2)
28. ¬(∃v:A. v ∈ X(e1))
29. iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;e1;v1)
30. loc(pred(e2)) = loc(e2) ∈ Id
31. (pred(e2) < e2)
32. ∀e':E. (e' < e2) ⇒ ((e' = pred(e2) ∈ E) ∨ (e' < pred(e2))) supposing loc(e') = loc(e2) ∈ Id
33. e1 = pred(e2) ∈ E
⊢ R[v1;v2]

2
1. [Info] : Type
2. [B] : Type
3. [A] : Type
4. R : B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. f : A ─→ B ─→ B@i
6. init : Id ─→ bag(B)@i
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. Trans(B;x,y.R[x;y])@i
14. ∀a:A. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ (e <loc e2) ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:B. (s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[s;f a s])))@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
17. ↓((↑first(e1)) ∧ v1 ↓∈ init loc(e1)) ∨ ((¬↑first(e1)) ∧ iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e1);v1))
18. ↓((↑first(e2)) ∧ v2 ↓∈ init loc(e2)) ∨ ((¬↑first(e2)) ∧ iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2))
19. (e1 <loc e2)@i
20. e : E@i
21. e1 ≤loc e @i
22. (e <loc e2)@i
23. a : A@i
24. a ∈ X(e)@i
25. ¬↑first(e2)
26. ↑first(e1)
27. iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2)
28. ¬(∃v:A. v ∈ X(e1))
29. iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;e1;v1)
30. loc(pred(e2)) = loc(e2) ∈ Id
31. (pred(e2) < e2)
32. ∀e':E. (e' < e2) ⇒ ((e' = pred(e2) ∈ E) ∨ (e' < pred(e2))) supposing loc(e') = loc(e2) ∈ Id
33. (e1 < pred(e2))
⊢ R[v1;v2]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [Info]  :  Type
2.  [B]  :  Type
3.  [A]  :  Type
4.  R  :  B  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B@i
6.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)@i
7.  X  :  EClass(A)@i'
8.  es  :  EO+(Info)@i'
9.  e1  :  E@i
10.  e2  :  E@i
11.  v1  :  B@i
12.  v2  :  B@i
13.  Trans(B;x,y.R[x;y])@i
14.  \mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
            (e1  \mleq{}loc  e 
            {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e2)
            {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:B.  (s  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e)  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])))@i
15.  single-valued-classrel(es;X;A)@i
16.  single-valued-bag(init  loc(e1);B)@i
17.  \mdownarrow{}((\muparrow{}first(e1))  \mwedge{}  v1  \mdownarrow{}\mmember{}  init  loc(e1))
          \mvee{}  ((\mneg{}\muparrow{}first(e1))  \mwedge{}  iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e1);v1))
18.  \mdownarrow{}((\muparrow{}first(e2))  \mwedge{}  v2  \mdownarrow{}\mmember{}  init  loc(e2))
          \mvee{}  ((\mneg{}\muparrow{}first(e2))  \mwedge{}  iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2))
19.  (e1  <loc  e2)@i
20.  e  :  E@i
21.  e1  \mleq{}loc  e  @i
22.  (e  <loc  e2)@i
23.  a  :  A@i
24.  a  \mmember{}  X(e)@i
25.  \mneg{}\muparrow{}first(e2)
26.  \muparrow{}first(e1)
27.  iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2)
28.  \mneg{}(\mexists{}v:A.  v  \mmember{}  X(e1))
\mvdash{}  R[v1;v2]


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;e1;v1)\mkleeneclose{}\mcdot{}
    THENA  (Unsquash
                  THEN  SplitOrHyps
                  THEN  Auto
                  THEN  RecUnfold  `iterated-classrel`  0
                  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                  THEN  MaAuto
                  THEN  OrRight
                  THEN  Auto
                  THEN  ParallelOp  -3
                  THEN  MaAuto)
    )
  THEN  InstLemma  `es-pred\_property`  [\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  (-1))

---

Home Index