---

Step * 1 2 of Lemma State-loc-comb-classrel-non-loc

.....falsecase..... 
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. f : Id ─→ A ─→ B ─→ B
5. init : Id ─→ bag(B)
6. X : EClass(A)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. e : E@i
9. ∀e':E. ((e' < e) ⇒ (∀v:B. (v ∈ State-loc-comb(init;f;X)(e') ⇐⇒ v ∈ State-comb(init;f loc(e');X)(e'))))
10. v : B@i
11. v ↓∈ lifting-loc-2(f) loc(e) (X es e) 
         (Prior(λl,x,s. if bag-null(x) then s else lifting-loc-2(f) l x s fi |Loc, X, Prior(self)?init|)?init es e)@i
12. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
13. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
⊢ v ↓∈ lifting-2(f loc(e)) (X es e) 
       (Prior(λx,s. if bag-null(x) then s else lifting-2(f loc(e)) x s fi |X,Prior(self)?init|)?init es e)
BY
{ (RepUR ``lifting-loc-2 lifting2-loc lifting-loc-gen-rev lifting-gen-rev`` (-3)⋅
   THEN RepeatFor 3 ((RecUnfold `lifting-gen-list-rev` (-3) THEN Reduce (-3)))
   THEN RepeatFor 2 ((BagMemberD (-3) THEN (TrySquashExRepD (-3) THEN MaAuto)))
   THEN RepUR ``lifting-2 lifting2 lifting-gen-rev`` 0
   THEN RepeatFor 3 ((RecUnfold `lifting-gen-list-rev` 0 THEN Reduce 0))
   THEN BagMemberD 0
   THEN D 0
   THEN InstConcl [⌈x⌉]⋅
   THEN Auto
   THEN Try (Fold `eclass` 0)
   THEN Auto
   THEN BagMemberD 0
   THEN D 0
   THEN InstConcl [⌈x@0⌉]⋅
   THEN Auto
   THEN Try (Fold `eclass` 0)
   THEN Auto
   THEN Try (Fold `classrel` (-5))
   THEN Try (Fold `classrel` 0)
   THEN MaUseClassRel (-5)
   THEN TrySquashExRepD (-5)
   THEN MaUseClassRel 0) }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. f : Id ─→ A ─→ B ─→ B
5. init : Id ─→ bag(B)
6. X : EClass(A)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. e : E@i
9. ∀e':E. ((e' < e) ⇒ (∀v:B. (v ∈ State-loc-comb(init;f;X)(e') ⇐⇒ v ∈ State-comb(init;f loc(e');X)(e'))))
10. v : B@i
11. x : A
12. x ↓∈ X es e
13. x@0 : B
14. e' : E
15. es-p-local-pred(es;λe'.(↓∃w:B
                              w ∈ λl,x,s. if bag-null(x)
                                         then s
                                         else ∪x1∈x.∪x1@0∈s.{f l x1 x1@0}
                                         fi |Loc, X, Prior(self)?init|(e'))) 
    e 
    e'
16. x@0 ∈ λl,x,s. if bag-null(x) then s else ∪x1∈x.∪x1@0∈s.{f l x1 x1@0} fi |Loc, X, Prior(self)?init|(e')
17. v ↓∈ {f loc(e) x x@0}
18. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
19. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
20. x ↓∈ X es e
⊢ ↓(∃e':E
     ((es-p-local-pred(es;λe'.(↓∃w:B
                                 w ∈ λx,s. if bag-null(x)
                                          then s
                                          else ∪x1∈x.∪x1@0∈s.{f loc(e) x1 x1@0}
                                          fi |X,Prior(self)?init|(e'))) 
       e 
       e')
     ∧ x@0 ∈ λx,s. if bag-null(x) then s else ∪x1∈x.∪x1@0∈s.{f loc(e) x1 x1@0} fi |X,Prior(self)?init|(e')))
   ∨ ((∀e':E
         ((e' <loc e)
         ⇒ (∀w:B. (¬w ∈ λx,s. if bag-null(x) then s else ∪x1∈x.∪x1@0∈s.{f loc(e) x1 x1@0} fi |X,Prior(self)?init|(e')))\000C))
     ∧ x@0 ↓∈ init loc(e))

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. f : Id ─→ A ─→ B ─→ B
5. init : Id ─→ bag(B)
6. X : EClass(A)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. e : E@i
9. ∀e':E. ((e' < e) ⇒ (∀v:B. (v ∈ State-loc-comb(init;f;X)(e') ⇐⇒ v ∈ State-comb(init;f loc(e');X)(e'))))
10. v : B@i
11. x : A
12. x ↓∈ X es e
13. x@0 : B
14. ∀e':E
      ((e' <loc e)
      ⇒ (∀w:B. (¬w ∈ λl,x,s. if bag-null(x) then s else ∪x1∈x.∪x1@0∈s.{f l x1 x1@0} fi |Loc, X, Prior(self)?init|(e')))\000C)
15. x@0 ↓∈ init loc(e)
16. v ↓∈ {f loc(e) x x@0}
17. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
18. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
19. x ↓∈ X es e
⊢ ↓(∃e':E
     ((es-p-local-pred(es;λe'.(↓∃w:B
                                 w ∈ λx,s. if bag-null(x)
                                          then s
                                          else ∪x1∈x.∪x1@0∈s.{f loc(e) x1 x1@0}
                                          fi |X,Prior(self)?init|(e'))) 
       e 
       e')
     ∧ x@0 ∈ λx,s. if bag-null(x) then s else ∪x1∈x.∪x1@0∈s.{f loc(e) x1 x1@0} fi |X,Prior(self)?init|(e')))
   ∨ ((∀e':E
         ((e' <loc e)
         ⇒ (∀w:B. (¬w ∈ λx,s. if bag-null(x) then s else ∪x1∈x.∪x1@0∈s.{f loc(e) x1 x1@0} fi |X,Prior(self)?init|(e')))\000C))
     ∧ x@0 ↓∈ init loc(e))

---

Latex:

---

Latex:
.....falsecase..... 
1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  A  :  Type
4.  f  :  Id  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  X  :  EClass(A)@i'
7.  es  :  EO+(Info)@i'
8.  e  :  E@i
9.  \mforall{}e':E
          ((e'  <  e)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v:B.  (v  \mmember{}  State-loc-comb(init;f;X)(e')  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  v  \mmember{}  State-comb(init;f  loc(e');X)(e'))))
10.  v  :  B@i
11.  v  \mdownarrow{}\mmember{}  lifting-loc-2(f)  loc(e)  (X  es  e) 
                  (Prior(\mlambda{}l,x,s.  if  bag-null(x)
                                              then  s
                                              else  lifting-loc-2(f)  l  x  s
                                              fi  |Loc,  X,  Prior(self)?init|)?init 
                    es 
                    e)@i
12.  \mneg{}((X  es  e)  =  \{\})
13.  \mneg{}((X  es  e)  =  \{\})
\mvdash{}  v  \mdownarrow{}\mmember{}  lifting-2(f  loc(e))  (X  es  e) 
              (Prior(\mlambda{}x,s.  if  bag-null(x)  then  s  else  lifting-2(f  loc(e))  x  s  fi  |X,Prior(self)?init|)?init\000C  es 
                e)


By

---

Latex:
(RepUR  ``lifting-loc-2  lifting2-loc  lifting-loc-gen-rev  lifting-gen-rev``  (-3)\mcdot{}
  THEN  RepeatFor  3  ((RecUnfold  `lifting-gen-list-rev`  (-3)  THEN  Reduce  (-3)))
  THEN  RepeatFor  2  ((BagMemberD  (-3)  THEN  (TrySquashExRepD  (-3)  THEN  MaAuto)))
  THEN  RepUR  ``lifting-2  lifting2  lifting-gen-rev``  0
  THEN  RepeatFor  3  ((RecUnfold  `lifting-gen-list-rev`  0  THEN  Reduce  0))
  THEN  BagMemberD  0
  THEN  D  0
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  Try  (Fold  `eclass`  0)
  THEN  Auto
  THEN  BagMemberD  0
  THEN  D  0
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}x@0\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  Try  (Fold  `eclass`  0)
  THEN  Auto
  THEN  Try  (Fold  `classrel`  (-5))
  THEN  Try  (Fold  `classrel`  0)
  THEN  MaUseClassRel  (-5)
  THEN  TrySquashExRepD  (-5)
  THEN  MaUseClassRel  0)

---

Home Index