---

Step * 2 3 1 of Lemma simple-comb2-classrel


1. Info : Type
2. A : Type
3. B : Type
4. C : Type
5. f : A ─→ B ─→ C
6. X : EClass(A)
7. Y : EClass(B)
8. es : EO+(Info)
9. e : E
10. v : C
11. ∀[es:EO+(Info)]. ∀[e:E]. ∀[v:C].
      uiff(v ∈ simple-comb(λw.lifting2(f;w 0;w 1);λn.[X; Y][n])(e);↓∃vs:k:ℕ2 ─→ [A; B][k]
                                                                     ((∀k:ℕ2. vs[k] ∈ λn.[X; Y][n][k](e))
                                                                     ∧ (v = (f (vs 0) (vs 1)) ∈ C)))
12. ↓∃vs:k:ℕ2 ─→ [A; B][k]. ((∀k:ℕ2. vs[k] ∈ λn.[X; Y][n][k](e)) ∧ (v = (f (vs 0) (vs 1)) ∈ C)) 
    supposing v ∈ simple-comb(λw.lifting2(f;w 0;w 1);λn.[X; Y][n])(e)
13. v ∈ simple-comb(λw.lifting2(f;w 0;w 1);λn.[X; Y][n])(e) 
    supposing ↓∃vs:k:ℕ2 ─→ [A; B][k]. ((∀k:ℕ2. vs[k] ∈ λn.[X; Y][n][k](e)) ∧ (v = (f (vs 0) (vs 1)) ∈ C))
14. ↓∃a:A. ∃b:B. ((a ∈ X(e) ∧ b ∈ Y(e)) ∧ (v = (f a b) ∈ C))
⊢ v ∈ simple-comb(λw.lifting2(f;w 0;w 1);λz.[X; Y][z])(e)
BY
{ (D (-2)
   THEN Try (Complete (Auto))
   THEN RepeatFor 3 (D (-1))
   THEN D 0
   THEN InstConcl [⌈λz.[a; b][z]⌉]⋅
   THEN Reduce 0
   THEN RepUR ``so_apply`` 0) }

1
.....wf..... 
1. Info : Type
2. A : Type
3. B : Type
4. C : Type
5. f : A ─→ B ─→ C
6. X : EClass(A)
7. Y : EClass(B)
8. es : EO+(Info)
9. e : E
10. v : C
11. ∀[es:EO+(Info)]. ∀[e:E]. ∀[v:C].
      uiff(v ∈ simple-comb(λw.lifting2(f;w 0;w 1);λn.[X; Y][n])(e);↓∃vs:k:ℕ2 ─→ [A; B][k]
                                                                     ((∀k:ℕ2. vs[k] ∈ λn.[X; Y][n][k](e))
                                                                     ∧ (v = (f (vs 0) (vs 1)) ∈ C)))
12. ↓∃vs:k:ℕ2 ─→ [A; B][k]. ((∀k:ℕ2. vs[k] ∈ λn.[X; Y][n][k](e)) ∧ (v = (f (vs 0) (vs 1)) ∈ C)) 
    supposing v ∈ simple-comb(λw.lifting2(f;w 0;w 1);λn.[X; Y][n])(e)
13. a : A
14. b : B
15. (a ∈ X(e) ∧ b ∈ Y(e)) ∧ (v = (f a b) ∈ C)
⊢ λz.[a; b][z] ∈ k:ℕ2 ─→ [A; B][k]

2
1. Info : Type
2. A : Type
3. B : Type
4. C : Type
5. f : A ─→ B ─→ C
6. X : EClass(A)
7. Y : EClass(B)
8. es : EO+(Info)
9. e : E
10. v : C
11. ∀[es:EO+(Info)]. ∀[e:E]. ∀[v:C].
      uiff(v ∈ simple-comb(λw.lifting2(f;w 0;w 1);λn.[X; Y][n])(e);↓∃vs:k:ℕ2 ─→ [A; B][k]
                                                                     ((∀k:ℕ2. vs[k] ∈ λn.[X; Y][n][k](e))
                                                                     ∧ (v = (f (vs 0) (vs 1)) ∈ C)))
12. ↓∃vs:k:ℕ2 ─→ [A; B][k]. ((∀k:ℕ2. vs[k] ∈ λn.[X; Y][n][k](e)) ∧ (v = (f (vs 0) (vs 1)) ∈ C)) 
    supposing v ∈ simple-comb(λw.lifting2(f;w 0;w 1);λn.[X; Y][n])(e)
13. a : A
14. b : B
15. (a ∈ X(e) ∧ b ∈ Y(e)) ∧ (v = (f a b) ∈ C)
⊢ (∀k:ℕ2. [a; b][k] ∈ [X; Y][k](e)) ∧ (v = (f a b) ∈ C)

3
1. Info : Type
2. A : Type
3. B : Type
4. C : Type
5. f : A ─→ B ─→ C
6. X : EClass(A)
7. Y : EClass(B)
8. es : EO+(Info)
9. e : E
10. v : C
11. ∀[es:EO+(Info)]. ∀[e:E]. ∀[v:C].
      uiff(v ∈ simple-comb(λw.lifting2(f;w 0;w 1);λn.[X; Y][n])(e);↓∃vs:k:ℕ2 ─→ [A; B][k]
                                                                     ((∀k:ℕ2. vs[k] ∈ λn.[X; Y][n][k](e))
                                                                     ∧ (v = (f (vs 0) (vs 1)) ∈ C)))
12. ↓∃vs:k:ℕ2 ─→ [A; B][k]. ((∀k:ℕ2. vs[k] ∈ λn.[X; Y][n][k](e)) ∧ (v = (f (vs 0) (vs 1)) ∈ C)) 
    supposing v ∈ simple-comb(λw.lifting2(f;w 0;w 1);λn.[X; Y][n])(e)
13. a : A
14. b : B
15. (a ∈ X(e) ∧ b ∈ Y(e)) ∧ (v = (f a b) ∈ C)
16. vs : k:ℕ2 ─→ [A; B][k]
⊢ (∀k:ℕ2. vs k ∈ [X; Y][k](e)) ∧ (v = (f (vs 0) (vs 1)) ∈ C) ∈ ℙ

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  A  :  Type
3.  B  :  Type
4.  C  :  Type
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  C
6.  X  :  EClass(A)
7.  Y  :  EClass(B)
8.  es  :  EO+(Info)
9.  e  :  E
10.  v  :  C
11.  \mforall{}[es:EO+(Info)].  \mforall{}[e:E].  \mforall{}[v:C].
            uiff(v  \mmember{}  simple-comb(\mlambda{}w.lifting2(f;w  0;w  1);\mlambda{}n.[X;  Y][n])(e);\mdownarrow{}\mexists{}vs:k:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  [A;  B][k]
                                                                                                                                          ((\mforall{}k:\mBbbN{}2
                                                                                                                                                  vs[k]  \mmember{}  \mlambda{}n.[X;  Y][n][k](e))
                                                                                                                                          \mwedge{}  (v  =  (f  (vs  0)  (vs  1)))))
12.  \mdownarrow{}\mexists{}vs:k:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  [A;  B][k].  ((\mforall{}k:\mBbbN{}2.  vs[k]  \mmember{}  \mlambda{}n.[X;  Y][n][k](e))  \mwedge{}  (v  =  (f  (vs  0)  (vs  1)))) 
        supposing  v  \mmember{}  simple-comb(\mlambda{}w.lifting2(f;w  0;w  1);\mlambda{}n.[X;  Y][n])(e)
13.  v  \mmember{}  simple-comb(\mlambda{}w.lifting2(f;w  0;w  1);\mlambda{}n.[X;  Y][n])(e) 
        supposing  \mdownarrow{}\mexists{}vs:k:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  [A;  B][k]
                                ((\mforall{}k:\mBbbN{}2.  vs[k]  \mmember{}  \mlambda{}n.[X;  Y][n][k](e))  \mwedge{}  (v  =  (f  (vs  0)  (vs  1))))
14.  \mdownarrow{}\mexists{}a:A.  \mexists{}b:B.  ((a  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  b  \mmember{}  Y(e))  \mwedge{}  (v  =  (f  a  b)))
\mvdash{}  v  \mmember{}  simple-comb(\mlambda{}w.lifting2(f;w  0;w  1);\mlambda{}z.[X;  Y][z])(e)


By

---

Latex:
(D  (-2)
  THEN  Try  (Complete  (Auto))
  THEN  RepeatFor  3  (D  (-1))
  THEN  D  0
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}\mlambda{}z.[a;  b][z]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Reduce  0
  THEN  RepUR  ``so\_apply``  0)

---

Home Index