---

Step * 2 2 of Lemma process-ordered-message_wf


1. M : Type
2. n : ℕ
3. L : {L:({n + 1...} × M) List| sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);L)} 
4. k1 : ℕ
5. k2 : M
6. ¬n < k1
7. ¬k1 < n
⊢ if null(L) ∨bn + 1 <z fst(hd(L))
  then <[<k1, k2>], n + 1, L>
  else let L1,L2 = split-maximal-consecutive(λp.(fst(p));L) 
       in eval n' = fst(last(L1)) in
          <[<k1, k2> / L1], n', L2>
  fi  ∈ {tr:({n...} × M) List × n:{n...} × (({n + 1...} × M) List)| 
         let out,n',L' = tr in 
         sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);L')
         ∧ (0 < ||out|| ⇒ ((k1 = n ∈ ℤ) ∧ (hd(out) = <k1, k2> ∈ (ℕ × M))))
         ∧ ((n = k1 ∈ ℤ) ⇒ ([<k1, k2> / L] = (out @ L') ∈ (({n...} × M) List)))
         ∧ (n < k1 ⇒ (insert-ordered-message(L;<k1, k2>) = (out @ L') ∈ (({n + 1...} × M) List)))
         ∧ (k1 < n ⇒ ((↑null(out)) ∧ (L' = L ∈ (({n + 1...} × M) List))))} 
BY
{ (RepeatFor 2 (DVar `L') THEN Reduce 0) }

1
1. M : Type
2. n : ℕ
3. sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);[])
4. k1 : ℕ
5. k2 : M
6. ¬n < k1
7. ¬k1 < n
⊢ <[<k1, k2>], n + 1, []> ∈ {tr:({n...} × M) List × n:{n...} × (({n + 1...} × M) List)| 
                           let out,n',L' = tr in 
                           sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);L')
                           ∧ (0 < ||out|| ⇒ ((k1 = n ∈ ℤ) ∧ (hd(out) = <k1, k2> ∈ (ℕ × M))))
                           ∧ ((n = k1 ∈ ℤ) ⇒ ([<k1, k2>] = (out @ L') ∈ (({n...} × M) List)))
                           ∧ (n < k1 ⇒ (insert-ordered-message([];<k1, k2>) = (out @ L') ∈ (({n + 1...} × M) List)))
                           ∧ (k1 < n ⇒ ((↑null(out)) ∧ (L' = [] ∈ (({n + 1...} × M) List))))} 

2
1. M : Type
2. n : ℕ
3. u : {n + 1...} × M
4. v : ({n + 1...} × M) List
5. sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);[u / v])
6. k1 : ℕ
7. k2 : M
8. ¬n < k1
9. ¬k1 < n
⊢ if n + 1 <z fst(u)
  then <[<k1, k2>], n + 1, [u / v]>
  else let L1,L2 = split-maximal-consecutive(λp.(fst(p));[u / v]) 
       in eval n' = fst(last(L1)) in
          <[<k1, k2> / L1], n', L2>
  fi  ∈ {tr:({n...} × M) List × n:{n...} × (({n + 1...} × M) List)| 
         let out,n',L' = tr in 
         sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);L')
         ∧ (0 < ||out|| ⇒ ((k1 = n ∈ ℤ) ∧ (hd(out) = <k1, k2> ∈ (ℕ × M))))
         ∧ ((n = k1 ∈ ℤ) ⇒ ([<k1, k2>; [u / v]] = (out @ L') ∈ (({n...} × M) List)))
         ∧ (n < k1 ⇒ (insert-ordered-message([u / v];<k1, k2>) = (out @ L') ∈ (({n + 1...} × M) List)))
         ∧ (k1 < n ⇒ ((↑null(out)) ∧ (L' = [u / v] ∈ (({n + 1...} × M) List))))} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  M  :  Type
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  L  :  \{L:(\{n  +  1...\}  \mtimes{}  M)  List|  sorted-by(\mlambda{}x,y.  fst(x)  <  fst(y);L)\} 
4.  k1  :  \mBbbN{}
5.  k2  :  M
6.  \mneg{}n  <  k1
7.  \mneg{}k1  <  n
\mvdash{}  if  null(L)  \mvee{}\msubb{}n  +  1  <z  fst(hd(L))
    then  <[<k1,  k2>],  n  +  1,  L>
    else  let  L1,L2  =  split-maximal-consecutive(\mlambda{}p.(fst(p));L) 
              in  eval  n'  =  fst(last(L1))  in
                    <[<k1,  k2>  /  L1],  n',  L2>
    fi    \mmember{}  \{tr:(\{n...\}  \mtimes{}  M)  List  \mtimes{}  n:\{n...\}  \mtimes{}  ((\{n  +  1...\}  \mtimes{}  M)  List)| 
                  let  out,n',L'  =  tr  in 
                  sorted-by(\mlambda{}x,y.  fst(x)  <  fst(y);L')
                  \mwedge{}  (0  <  ||out||  {}\mRightarrow{}  ((k1  =  n)  \mwedge{}  (hd(out)  =  <k1,  k2>)))
                  \mwedge{}  ((n  =  k1)  {}\mRightarrow{}  ([<k1,  k2>  /  L]  =  (out  @  L')))
                  \mwedge{}  (n  <  k1  {}\mRightarrow{}  (insert-ordered-message(L;<k1,  k2>)  =  (out  @  L')))
                  \mwedge{}  (k1  <  n  {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}null(out))  \mwedge{}  (L'  =  L)))\} 


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (DVar  `L')  THEN  Reduce  0)

---

Home Index