---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma Q-R-glues-conditional


1. [Info] : Type
2. es : EO+(Info)@i'
3. [Q1] : E ─→ E ─→ ℙ
4. [Q2] : E ─→ E ─→ ℙ
5. [R] : E ─→ E ─→ ℙ
6. [A] : Type
7. [B] : Type
8. Ia1 : EClass(A)@i'
9. Ia2 : EClass(A)@i'
10. Ib1 : EClass(B)@i'
11. Ib2 : EClass(B)@i'
12. f : E([Ia1?Ia2]) ─→ B@i
13. g1 : E(Ib1) ─→ E(Ia1)@i
14. g2 : E(Ib2) ─→ E(Ia2)@i
15. Ia1 ∩ Ia2 = 0
16. Ib1 ∩ Ib2 = 0
17. {Ia1} ←←= g1== {Ib1}@i
18. g1 is Q1-R-pre-preserving on {Ib1}@i
19. Inj(E(Ib1);E;g1)@i
20. ∀e:E(Ib1). ((f (g1 e)) = Ib1(e) ∈ B)@i
21. {Ia2} ←←= g2== {Ib2}@i
22. g2 is Q2-R-pre-preserving on {Ib2}@i
23. Inj(E(Ib2);E;g2)@i
24. ∀e:E(Ib2). ((f (g2 e)) = Ib2(e) ∈ B)@i
25. ∀e:E. ((↑e ∈b Ib1) ⇒ (¬↑e ∈b Ib2))
26. (∀e:E. Dec({Ia1} e))
∧ (∀e:E. Dec({Ia2} e))
∧ (λe.bool-decider(e ∈b Ib1) ∈ e:E ─→ Dec({Ib1} e))
∧ (∀e:E. (({Ib1} e) ⇒ (¬({Ib2} e))))
⊢ {Ia1} ∨ {Ia2} ←←= [{Ib1}? g1 : g2]== {Ib1} ∨ {Ib2}
BY
{ (BLemma `weak-antecedent-surjection-conditional2`⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  [Info]  :  Type
2.  es  :  EO+(Info)@i'
3.  [Q1]  :  E  {}\mrightarrow{}  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  [Q2]  :  E  {}\mrightarrow{}  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [R]  :  E  {}\mrightarrow{}  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  [A]  :  Type
7.  [B]  :  Type
8.  Ia1  :  EClass(A)@i'
9.  Ia2  :  EClass(A)@i'
10.  Ib1  :  EClass(B)@i'
11.  Ib2  :  EClass(B)@i'
12.  f  :  E([Ia1?Ia2])  {}\mrightarrow{}  B@i
13.  g1  :  E(Ib1)  {}\mrightarrow{}  E(Ia1)@i
14.  g2  :  E(Ib2)  {}\mrightarrow{}  E(Ia2)@i
15.  Ia1  \mcap{}  Ia2  =  0
16.  Ib1  \mcap{}  Ib2  =  0
17.  \{Ia1\}  \mleftarrow{}\mleftarrow{}=  g1==  \{Ib1\}@i
18.  g1  is  Q1-R-pre-preserving  on  \{Ib1\}@i
19.  Inj(E(Ib1);E;g1)@i
20.  \mforall{}e:E(Ib1).  ((f  (g1  e))  =  Ib1(e))@i
21.  \{Ia2\}  \mleftarrow{}\mleftarrow{}=  g2==  \{Ib2\}@i
22.  g2  is  Q2-R-pre-preserving  on  \{Ib2\}@i
23.  Inj(E(Ib2);E;g2)@i
24.  \mforall{}e:E(Ib2).  ((f  (g2  e))  =  Ib2(e))@i
25.  \mforall{}e:E.  ((\muparrow{}e  \mmember{}\msubb{}  Ib1)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}e  \mmember{}\msubb{}  Ib2))
26.  (\mforall{}e:E.  Dec(\{Ia1\}  e))
\mwedge{}  (\mforall{}e:E.  Dec(\{Ia2\}  e))
\mwedge{}  (\mlambda{}e.bool-decider(e  \mmember{}\msubb{}  Ib1)  \mmember{}  e:E  {}\mrightarrow{}  Dec(\{Ib1\}  e))
\mwedge{}  (\mforall{}e:E.  ((\{Ib1\}  e)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{Ib2\}  e))))
\mvdash{}  \{Ia1\}  \mvee{}  \{Ia2\}  \mleftarrow{}\mleftarrow{}=  [\{Ib1\}?  g1  :  g2]==  \{Ib1\}  \mvee{}  \{Ib2\}


By

---

Latex:
(BLemma  `weak-antecedent-surjection-conditional2`\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index