---

Step * 2 1 2 1 1 1 1 of Lemma consensus-refinement4


1. V : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v1 : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v1 = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. 1 < ||W||@i
9. two-intersection(A;W)@i
10. x1 : ConsensusState@i
11. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
12. y1 : ConsensusState@i
13. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
14. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
15. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
16. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
17. Knowledge(y2;a) = Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)@i
18. ¬(Inning(x1;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
19. v : V@i
20. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
21. (ws ∈ W)@i
22. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ((b ∈ ws) ⇒ ((↑b ∈ dom(Knowledge(x2;a))) ∧ (Inning(x1;a) = (fst(Knowledge(x2;a)(b))) ∈ ℤ)))@i
23. ∀ws':{a:Id| (a ∈ A)}  List
      ((ws' ∈ W)
      ⇒ (∃b:{a:Id| (a ∈ A)} 
           ((b ∈ ws)
           ∧ (b ∈ ws')
           ∧ ((↑isl(snd(Knowledge(x2;a)(b)))) ⇒ ((snd(outl(snd(Knowledge(x2;a)(b))))) = v ∈ V)))))@i
24. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ⊕ Inning(x1;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V@i
25. <x1, x2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
26. <y1, y2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
27. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id)) ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)))
28. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ
29. ¬(Inning(x1;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x1;a)))
30. (ws ∈ W)
31. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
32. (b ∈ ws)@i
⊢ Inning(x1;a) ≤ Inning(x1;b)
BY
{ OnMaybeHyp 22 (\h. ((InstHyp [⌈b⌉] h⋅ THENA Auto)
                      THEN D -1
                      THEN HypSubst' (-1) 0
                      THEN ((InstLemma `consensus-ts5-true-knowledge` [⌈V⌉;⌈A⌉;⌈W⌉;⌈<x1, x2>⌉]⋅ THENA Auto)
                            THEN Reduce (-1)
                            THEN (InstHyp [⌈a⌉;⌈b⌉] (-1)⋅ THENA Auto)
                            THEN Thin (-2)
                            THEN DVar `b'
                            THEN MoveToConcl (-1)
                            THEN (GenConclAtAddr [1;1] THENA Auto)
                            THEN D -2
                            THEN Reduce 0
                            THEN Auto)⋅)) }

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  v1  :  V@i
4.  v'  :  V@i
5.  \mneg{}(v1  =  v')@i
6.  A  :  Id  List@i
7.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
8.  1  <  ||W||@i
9.  two-intersection(A;W)@i
10.  x1  :  ConsensusState@i
11.  x2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
12.  y1  :  ConsensusState@i
13.  y2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
14.  a  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
15.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((\mneg{}(b  =  a))
            {}\mRightarrow{}  ((Inning(y1;b)  =  Inning(x1;b))
                  \mwedge{}  (Estimate(y1;b)  =  Estimate(x1;b))
                  \mwedge{}  (Knowledge(y2;b)  =  Knowledge(x2;b))))@i
16.  Inning(y1;a)  =  Inning(x1;a)@i
17.  Knowledge(y2;a)  =  Knowledge(x2;a)@i
18.  \mneg{}(Inning(x1;a)  \mmember{}  fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
19.  v  :  V@i
20.  ws  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List@i
21.  (ws  \mmember{}  W)@i
22.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((b  \mmember{}  ws)  {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}b  \mmember{}  dom(Knowledge(x2;a)))  \mwedge{}  (Inning(x1;a)  =  (fst(Knowledge(x2;a)(b))))))@i
23.  \mforall{}ws':\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List
            ((ws'  \mmember{}  W)
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
                      ((b  \mmember{}  ws)
                      \mwedge{}  (b  \mmember{}  ws')
                      \mwedge{}  ((\muparrow{}isl(snd(Knowledge(x2;a)(b))))  {}\mRightarrow{}  ((snd(outl(snd(Knowledge(x2;a)(b)))))  =  v)))))@i
24.  Estimate(y1;a)  =  Estimate(x1;a)  \moplus{}  Inning(x1;a)  :  v@i
25.  <x1,  x2>  \mmember{}  ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
26.  <y1,  y2>  \mmember{}  ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
27.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((\mneg{}(b  =  a))  {}\mRightarrow{}  ((Inning(y1;b)  =  Inning(x1;b))  \mwedge{}  (Estimate(y1;b)  =  Estimate(x1;b))))
28.  Inning(y1;a)  =  Inning(x1;a)
29.  \mneg{}(Inning(x1;a)  \mmember{}  fpf-domain(Estimate(x1;a)))
30.  (ws  \mmember{}  W)
31.  b  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
32.  (b  \mmember{}  ws)@i
\mvdash{}  Inning(x1;a)  \mleq{}  Inning(x1;b)


By

OnMaybeHyp  22  (\mbackslash{}h.  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]  h\mcdot{}  THENA  Auto)
                                        THEN  D  -1
                                        THEN  HypSubst'  (-1)  0
                                        THEN  ((InstLemma  `consensus-ts5-true-knowledge`  [\mkleeneopen{}V\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}W\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}<x1,  x2>\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                                      THENA  Auto
                                                      )
                                                    THEN  Reduce  (-1)
                                                    THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
                                                    THEN  Thin  (-2)
                                                    THEN  DVar  `b'
                                                    THEN  MoveToConcl  (-1)
                                                    THEN  (GenConclAtAddr  [1;1]  THENA  Auto)
                                                    THEN  D  -2
                                                    THEN  Reduce  0
                                                    THEN  Auto)\mcdot{}))

---

Home Index