---

Step * 2 1 3 of Lemma consensus-refinement4


1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. 1 < ||W||@i
9. two-intersection(A;W)@i
10. x1 : ConsensusState@i
11. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
12. y1 : ConsensusState@i
13. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
14. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
15. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
16. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
17. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ∈ i:ℤ fp-> V@i
18. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
19. i : ℤ@i
20. i ≤ Inning(x1;b)@i
21. ((∀j:ℤ. (j < i ⇒ (¬↑j ∈ dom(Estimate(x1;b)))))
∧ (Knowledge(y2;a) = b : <i, inr ⋅ > ⊕ Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)))
∨ (∃j:ℤ
    (j < i
    ∧ (↑j ∈ dom(Estimate(x1;b)))
    ∧ (∀k:ℤ. (j < k ⇒ k < i ⇒ (¬↑k ∈ dom(Estimate(x1;b)))))
    ∧ (Knowledge(y2;a) = b : <i, inl <j, Estimate(x1;b)(j)>> ⊕ Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
22. <x1, x2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
23. <y1, y2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
⊢ x1 ((λx,y. CR[x,y])^*) y1
BY
{ (BLemma `rel_star_weakening` THEN Auto) }

1
1. V : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. 1 < ||W||@i
9. two-intersection(A;W)@i
10. x1 : ConsensusState@i
11. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
12. y1 : ConsensusState@i
13. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
14. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
15. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
16. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
17. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ∈ i:ℤ fp-> V@i
18. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
19. i : ℤ@i
20. i ≤ Inning(x1;b)@i
21. ((∀j:ℤ. (j < i ⇒ (¬↑j ∈ dom(Estimate(x1;b)))))
∧ (Knowledge(y2;a) = b : <i, inr ⋅ > ⊕ Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)))
∨ (∃j:ℤ
    (j < i
    ∧ (↑j ∈ dom(Estimate(x1;b)))
    ∧ (∀k:ℤ. (j < k ⇒ k < i ⇒ (¬↑k ∈ dom(Estimate(x1;b)))))
    ∧ (Knowledge(y2;a) = b : <i, inl <j, Estimate(x1;b)(j)>> ⊕ Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
22. <x1, x2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
23. <y1, y2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
⊢ x1 = y1 ∈ ConsensusState

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  v  :  V@i
4.  v'  :  V@i
5.  \mneg{}(v  =  v')@i
6.  A  :  Id  List@i
7.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
8.  1  <  ||W||@i
9.  two-intersection(A;W)@i
10.  x1  :  ConsensusState@i
11.  x2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
12.  y1  :  ConsensusState@i
13.  y2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
14.  a  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
15.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((\mneg{}(b  =  a))
            {}\mRightarrow{}  ((Inning(y1;b)  =  Inning(x1;b))
                  \mwedge{}  (Estimate(y1;b)  =  Estimate(x1;b))
                  \mwedge{}  (Knowledge(y2;b)  =  Knowledge(x2;b))))@i
16.  Inning(y1;a)  =  Inning(x1;a)@i
17.  Estimate(y1;a)  =  Estimate(x1;a)@i
18.  b  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
19.  i  :  \mBbbZ{}@i
20.  i  \mleq{}  Inning(x1;b)@i
21.  ((\mforall{}j:\mBbbZ{}.  (j  <  i  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}j  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b)))))
\mwedge{}  (Knowledge(y2;a)  =  b  :  <i,  inr  \mcdot{}  >  \moplus{}  Knowledge(x2;a)))
\mvee{}  (\mexists{}j:\mBbbZ{}
        (j  <  i
        \mwedge{}  (\muparrow{}j  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b)))
        \mwedge{}  (\mforall{}k:\mBbbZ{}.  (j  <  k  {}\mRightarrow{}  k  <  i  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}k  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b)))))
        \mwedge{}  (Knowledge(y2;a)  =  b  :  <i,  inl  <j,  Estimate(x1;b)(j)>>  \moplus{}  Knowledge(x2;a))))@i
22.  <x1,  x2>  \mmember{}  ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
23.  <y1,  y2>  \mmember{}  ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
\mvdash{}  x1  rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR[x,y])  y1


By

(BLemma  `rel\_star\_weakening`  THEN  Auto)

---

Home Index