---

Step * 2 2 1 1 2 of Lemma consensus-refinement4


1. V : Type
2. A : Id List@i
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
4. 1 < ||W||@i
5. two-intersection(A;W)@i
6. x : ConsensusState@i
7. (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) x@i
8. v : V@i
9. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((Inning(x;a) = 0 ∈ ℤ) ∧ (Estimate(x;a) = 0 : v ∈ i:ℤ fp-> V))@i
10. <λa.<0, if a ∈b A) then 0 : v else ⊗ fi >, λa.mk_fpf(A;λb.<0, ff>)>
    ∈ {s:ConsensusState × Knowledge(ConsensusState)| 
       <λa.<0, ⊗>, λa.mk_fpf(A;λb.<0, ff>)> ((λx,y. consensus-rel-knowledge(V;A;W;x;y))^*) s} 
11. ∃v@0:V
     ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} 
       ((Inning(λa.<0, if a ∈b A) then 0 : v else ⊗ fi >;a) = 0 ∈ ℤ)
       ∧ (Estimate(λa.<0, if a ∈b A) then 0 : v else ⊗ fi >;a) = 0 : v@0 ∈ i:ℤ fp-> V)
       ∧ (Knowledge(λa.mk_fpf(A;λb.<0, ff>);a) = mk_fpf(A;λb.<0, ff>) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)))
⊢ (λa.<0, if a ∈b A) then 0 : v else ⊗ fi >) = x ∈ ConsensusState
BY
{ (RepUR ``ts-type consensus-ts4 consensus-state4`` 0
   THEN Ext
   THEN Auto
   THEN Reduce 0
   THEN D -1
   THEN (RWO "pair_eta_rw<" 0 THENA Auto)
   THEN (SplitOnConclITE THENM Reduce 0)
   THEN Auto
   THEN Folds ``cs-estimate cs-inning`` 0
   THEN Symmetry
   THEN EqCD
   THEN Auto) }

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  A  :  Id  List@i
3.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
4.  1  <  ||W||@i
5.  two-intersection(A;W)@i
6.  x  :  ConsensusState@i
7.  (\mlambda{}a.<-1,  \motimes{}>)  rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR[x,y])  x@i
8.  v  :  V@i
9.  \mforall{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  ((Inning(x;a)  =  0)  \mwedge{}  (Estimate(x;a)  =  0  :  v))@i
10.  <\mlambda{}a.ɘ,  if  a  \mmember{}\msubb{}  A)  then  0  :  v  else  \motimes{}  fi  >,  \mlambda{}a.mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  ff>)>
        \mmember{}  \{s:ConsensusState  \mtimes{}  Knowledge(ConsensusState)| 
              <\mlambda{}a.ɘ,  \motimes{}>,  \mlambda{}a.mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  ff>)>  ((\mlambda{}x,y.  consensus-rel-knowledge(V;A;W;x;y))\^{}*)  s\} 
11.  \mexists{}v@0:V
          \mforall{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
              ((Inning(\mlambda{}a.ɘ,  if  a  \mmember{}\msubb{}  A)  then  0  :  v  else  \motimes{}  fi  >a)  =  0)
              \mwedge{}  (Estimate(\mlambda{}a.ɘ,  if  a  \mmember{}\msubb{}  A)  then  0  :  v  else  \motimes{}  fi  >a)  =  0  :  v@0)
              \mwedge{}  (Knowledge(\mlambda{}a.mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  ff>);a)  =  mk\_fpf(A;\mlambda{}b.ɘ,  ff>)))
\mvdash{}  (\mlambda{}a.ɘ,  if  a  \mmember{}\msubb{}  A)  then  0  :  v  else  \motimes{}  fi  >)  =  x


By

(RepUR  ``ts-type  consensus-ts4  consensus-state4``  0
  THEN  Ext
  THEN  Auto
  THEN  Reduce  0
  THEN  D  -1
  THEN  (RWO  "pair\_eta\_rw<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (SplitOnConclITE  THENM  Reduce  0)
  THEN  Auto
  THEN  Folds  ``cs-estimate  cs-inning``  0
  THEN  Symmetry
  THEN  EqCD
  THEN  Auto)

---

Home Index