---

Step * 1 1 of Lemma consensus-safety


1. V : Type@i'
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}@i
4. ∀L:V List. Dec(∃v:V. (¬(v ∈ L)))@i
5. A : Id List@i
6. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
7. ||W|| ≥ 1 @i
8. two-intersection(A;W)@i
9. f : ConsensusState ─→ consensus-state1(V)
10. ∀v:V. ∀s:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
      ((f s) = Decided[v] ∈ consensus-state1(V) ⇐⇒ ∃i:ℕ. in state s, inning i has committed v)
11. ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);f)
12. s1 : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
13. s2 : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
14. s1 (ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))^*) s2@i
15. v1 : V@i
16. v2 : V@i
17. i : ℕ@i
18. in state s1, inning i has committed v1@i
19. j : ℕ@i
20. in state s2, inning j has committed v2@i
21. (f s1) = Decided[v1] ∈ consensus-state1(V)
22. (f s2) = Decided[v2] ∈ consensus-state1(V)
⊢ v1 = v2 ∈ V
BY
{ Assert ⌈(f s1) (ts-rel(consensus-ts1(V))^*) (f s2)⌉⋅ }

1
.....assertion..... 
1. V : Type@i'
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}@i
4. ∀L:V List. Dec(∃v:V. (¬(v ∈ L)))@i
5. A : Id List@i
6. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
7. ||W|| ≥ 1 @i
8. two-intersection(A;W)@i
9. f : ConsensusState ─→ consensus-state1(V)
10. ∀v:V. ∀s:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
      ((f s) = Decided[v] ∈ consensus-state1(V) ⇐⇒ ∃i:ℕ. in state s, inning i has committed v)
11. ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);f)
12. s1 : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
13. s2 : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
14. s1 (ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))^*) s2@i
15. v1 : V@i
16. v2 : V@i
17. i : ℕ@i
18. in state s1, inning i has committed v1@i
19. j : ℕ@i
20. in state s2, inning j has committed v2@i
21. (f s1) = Decided[v1] ∈ consensus-state1(V)
22. (f s2) = Decided[v2] ∈ consensus-state1(V)
⊢ (f s1) (ts-rel(consensus-ts1(V))^*) (f s2)

2
1. V : Type@i'
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}@i
4. ∀L:V List. Dec(∃v:V. (¬(v ∈ L)))@i
5. A : Id List@i
6. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
7. ||W|| ≥ 1 @i
8. two-intersection(A;W)@i
9. f : ConsensusState ─→ consensus-state1(V)
10. ∀v:V. ∀s:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
      ((f s) = Decided[v] ∈ consensus-state1(V) ⇐⇒ ∃i:ℕ. in state s, inning i has committed v)
11. ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);f)
12. s1 : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
13. s2 : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
14. s1 (ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))^*) s2@i
15. v1 : V@i
16. v2 : V@i
17. i : ℕ@i
18. in state s1, inning i has committed v1@i
19. j : ℕ@i
20. in state s2, inning j has committed v2@i
21. (f s1) = Decided[v1] ∈ consensus-state1(V)
22. (f s2) = Decided[v2] ∈ consensus-state1(V)
23. (f s1) (ts-rel(consensus-ts1(V))^*) (f s2)
⊢ v1 = v2 ∈ V

---

Latex:



1.  V  :  Type@i'
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  \{\mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))\}@i
4.  \mforall{}L:V  List.  Dec(\mexists{}v:V.  (\mneg{}(v  \mmember{}  L)))@i
5.  A  :  Id  List@i
6.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
7.  ||W||  \mgeq{}  1  @i
8.  two-intersection(A;W)@i
9.  f  :  ConsensusState  {}\mrightarrow{}  consensus-state1(V)
10.  \mforall{}v:V.  \mforall{}s:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
            ((f  s)  =  Decided[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}i:\mBbbN{}.  in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
11.  ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);f)
12.  s1  :  ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
13.  s2  :  ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
14.  s1  rel\_star(ts-type(consensus-ts4(V;A;W));  ts-rel(consensus-ts4(V;A;W)))  s2@i
15.  v1  :  V@i
16.  v2  :  V@i
17.  i  :  \mBbbN{}@i
18.  in  state  s1,  inning  i  has  committed  v1@i
19.  j  :  \mBbbN{}@i
20.  in  state  s2,  inning  j  has  committed  v2@i
21.  (f  s1)  =  Decided[v1]
22.  (f  s2)  =  Decided[v2]
\mvdash{}  v1  =  v2


By

Assert  \mkleeneopen{}(f  s1)  rel\_star(ts-type(consensus-ts1(V));  ts-rel(consensus-ts1(V)))  (f  s2)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index