---

Step * 1 1 2 of Lemma consensus-safety


1. V : Type@i'
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}@i
4. ∀L:V List. Dec(∃v:V. (¬(v ∈ L)))@i
5. A : Id List@i
6. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
7. ||W|| ≥ 1 @i
8. two-intersection(A;W)@i
9. f : ConsensusState ─→ consensus-state1(V)
10. ∀v:V. ∀s:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
      ((f s) = Decided[v] ∈ consensus-state1(V) ⇐⇒ ∃i:ℕ. in state s, inning i has committed v)
11. ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);f)
12. s1 : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
13. s2 : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
14. s1 (ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))^*) s2@i
15. v1 : V@i
16. v2 : V@i
17. i : ℕ@i
18. in state s1, inning i has committed v1@i
19. j : ℕ@i
20. in state s2, inning j has committed v2@i
21. (f s1) = Decided[v1] ∈ consensus-state1(V)
22. (f s2) = Decided[v2] ∈ consensus-state1(V)
23. (f s1) (ts-rel(consensus-ts1(V))^*) (f s2)
⊢ v1 = v2 ∈ V
BY
{ ((HypSubst' -3 -1 THENA (Auto THEN All (RepUR ``ts-type consensus-ts1``) THEN Auto))
   THEN HypSubst' -2 -1
   THEN Auto
   THEN All (RepUR ``ts-type ts-rel consensus-ts1``)
   THEN Auto
   THEN Lemmaize [-1]) }

1
∀V:Type. ∀v1,v2:V.
  ((Decided[v1] 
    ((λx,y. ((x = UNDECIDED ∈ consensus-state1(V)) ∧ (∃v:V. (y = Decided[v] ∈ consensus-state1(V)))))^*) 
    Decided[v2])
  ⇒ (v1 = v2 ∈ V))

---

Latex:



1.  V  :  Type@i'
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  \{\mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))\}@i
4.  \mforall{}L:V  List.  Dec(\mexists{}v:V.  (\mneg{}(v  \mmember{}  L)))@i
5.  A  :  Id  List@i
6.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
7.  ||W||  \mgeq{}  1  @i
8.  two-intersection(A;W)@i
9.  f  :  ConsensusState  {}\mrightarrow{}  consensus-state1(V)
10.  \mforall{}v:V.  \mforall{}s:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
            ((f  s)  =  Decided[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}i:\mBbbN{}.  in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
11.  ts-refinement(consensus-ts1(V);consensus-ts4(V;A;W);f)
12.  s1  :  ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
13.  s2  :  ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
14.  s1  rel\_star(ts-type(consensus-ts4(V;A;W));  ts-rel(consensus-ts4(V;A;W)))  s2@i
15.  v1  :  V@i
16.  v2  :  V@i
17.  i  :  \mBbbN{}@i
18.  in  state  s1,  inning  i  has  committed  v1@i
19.  j  :  \mBbbN{}@i
20.  in  state  s2,  inning  j  has  committed  v2@i
21.  (f  s1)  =  Decided[v1]
22.  (f  s2)  =  Decided[v2]
23.  (f  s1)  rel\_star(ts-type(consensus-ts1(V));  ts-rel(consensus-ts1(V)))  (f  s2)
\mvdash{}  v1  =  v2


By

((HypSubst'  -3  -1  THENA  (Auto  THEN  All  (RepUR  ``ts-type  consensus-ts1``)  THEN  Auto))
  THEN  HypSubst'  -2  -1
  THEN  Auto
  THEN  All  (RepUR  ``ts-type  ts-rel  consensus-ts1``)
  THEN  Auto
  THEN  Lemmaize  [-1])

---

Home Index