---

Step * 1 2 2 1 of Lemma consensus-ts3-invariant1


1. V : Type@i'
2. L : ts-reachable(consensus-ts3(V))@i
3. y : ts-reachable(consensus-ts3(V))@i
4. ∀v:V
     (((CONSIDERING[v] ∈ L) ∨ (COMMITED[v] ∈ L))
     ⇒ (∀v':V. (((CONSIDERING[v'] ∈ L) ∨ (COMMITED[v'] ∈ L)) ⇒ (v' = v ∈ V))))@i
5. ||y|| = ||L|| ∈ ℤ@i
6. i : ℕ||L||@i
7. ∀j:ℕ||L||. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ (y[j] = L[j] ∈ consensus-state3(V)))@i
8. L[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)@i
9. (y[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
∨ (∃v:V
    ((y[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V))
    ∧ (∀j:ℕi
         ((L[j] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
         ∨ (L[j] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V))
         ∨ (L[j] = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V))))))@i
10. v : V@i
11. (CONSIDERING[v] ∈ y) ∨ (COMMITED[v] ∈ y)@i
12. v' : V@i
13. (CONSIDERING[v'] ∈ y) ∨ (COMMITED[v'] ∈ y)@i
⊢ v' = v ∈ V
BY
{ ((InstLemma `consensus-ts3-invariant0` [⌈V⌉;⌈L⌉;⌈i⌉]⋅ THENA Auto)
   THEN (All (Unfold `ts-reachable`) THEN AllHyps h.(DSet h THEN Thin (h+1)) )
   THEN All (RepUR ``consensus-ts3 ts-type``)
   THEN D -6
   THEN ExRepD) }

1
1. V : Type@i'
2. L : consensus-state3(V) List@i
3. y : consensus-state3(V) List@i
4. ∀v:V
     (((CONSIDERING[v] ∈ L) ∨ (COMMITED[v] ∈ L))
     ⇒ (∀v':V. (((CONSIDERING[v'] ∈ L) ∨ (COMMITED[v'] ∈ L)) ⇒ (v' = v ∈ V))))@i
5. ||y|| = ||L|| ∈ ℤ@i
6. i : ℕ||L||@i
7. ∀j:ℕ||L||. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ (y[j] = L[j] ∈ consensus-state3(V)))@i
8. L[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)@i
9. y[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)@i
10. v : V@i
11. (CONSIDERING[v] ∈ y) ∨ (COMMITED[v] ∈ y)@i
12. v' : V@i
13. (CONSIDERING[v'] ∈ y) ∨ (COMMITED[v'] ∈ y)@i
14. ∀j:ℕ||L||. (L[j] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)) ∨ (L[j] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)) supposing i < j
⊢ v' = v ∈ V

2
1. V : Type@i'
2. L : consensus-state3(V) List@i
3. y : consensus-state3(V) List@i
4. ∀v:V
     (((CONSIDERING[v] ∈ L) ∨ (COMMITED[v] ∈ L))
     ⇒ (∀v':V. (((CONSIDERING[v'] ∈ L) ∨ (COMMITED[v'] ∈ L)) ⇒ (v' = v ∈ V))))@i
5. ||y|| = ||L|| ∈ ℤ@i
6. i : ℕ||L||@i
7. ∀j:ℕ||L||. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ (y[j] = L[j] ∈ consensus-state3(V)))@i
8. L[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)@i
9. v1 : V@i
10. y[i] = CONSIDERING[v1] ∈ consensus-state3(V)@i
11. ∀j:ℕi
      ((L[j] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
      ∨ (L[j] = CONSIDERING[v1] ∈ consensus-state3(V))
      ∨ (L[j] = COMMITED[v1] ∈ consensus-state3(V)))@i
12. v : V@i
13. (CONSIDERING[v] ∈ y) ∨ (COMMITED[v] ∈ y)@i
14. v' : V@i
15. (CONSIDERING[v'] ∈ y) ∨ (COMMITED[v'] ∈ y)@i
16. ∀j:ℕ||L||. (L[j] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)) ∨ (L[j] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)) supposing i < j
⊢ v' = v ∈ V

---

Latex:



1.  V  :  Type@i'
2.  L  :  ts-reachable(consensus-ts3(V))@i
3.  y  :  ts-reachable(consensus-ts3(V))@i
4.  \mforall{}v:V
          (((CONSIDERING[v]  \mmember{}  L)  \mvee{}  (COMMITED[v]  \mmember{}  L))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v':V.  (((CONSIDERING[v']  \mmember{}  L)  \mvee{}  (COMMITED[v']  \mmember{}  L))  {}\mRightarrow{}  (v'  =  v))))@i
5.  ||y||  =  ||L||@i
6.  i  :  \mBbbN{}||L||@i
7.  \mforall{}j:\mBbbN{}||L||.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  (y[j]  =  L[j]))@i
8.  L[i]  =  INITIAL@i
9.  (y[i]  =  WITHDRAWN)
\mvee{}  (\mexists{}v:V
        ((y[i]  =  CONSIDERING[v])
        \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}i.  ((L[j]  =  WITHDRAWN)  \mvee{}  (L[j]  =  CONSIDERING[v])  \mvee{}  (L[j]  =  COMMITED[v])))))@i
10.  v  :  V@i
11.  (CONSIDERING[v]  \mmember{}  y)  \mvee{}  (COMMITED[v]  \mmember{}  y)@i
12.  v'  :  V@i
13.  (CONSIDERING[v']  \mmember{}  y)  \mvee{}  (COMMITED[v']  \mmember{}  y)@i
\mvdash{}  v'  =  v


By

((InstLemma  `consensus-ts3-invariant0`  [\mkleeneopen{}V\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}L\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (All  (Unfold  `ts-reachable`)  THEN  AllHyps  h.(DSet  h  THEN  Thin  (h+1))  )
  THEN  All  (RepUR  ``consensus-ts3  ts-type``)
  THEN  D  -6
  THEN  ExRepD)

---

Home Index