---

Step * 1 1 1 1 5 of Lemma consensus-ts4-ref-map1


1. [V] : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. one-intersection(A;W)
8. s : ConsensusState@i
9. i : ℤ@i
10. Dec(∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
11. ∀v:V. Dec(in state s, inning i has committed v)
12. v : V
13. in state s, inning i could commit v 
14. in state s, inning i has committed v
15. ¬(INITIAL = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
16. ∀[v:V]
      (((¬(COMMITED[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))) ∧ (¬(CONSIDERING[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))))
      ∧ (¬(COMMITED[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (¬(CONSIDERING[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (∀[v':V]
           ((¬(CONSIDERING[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V)))
           ∧ (¬(CONSIDERING[v] = CONSIDERING[v'] ∈ consensus-state3(V)))
             ∧ (¬(COMMITED[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V))) 
             supposing ¬(v = v' ∈ V))))
17. ¬(COMMITED[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
18. ¬(CONSIDERING[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
19. ¬(COMMITED[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
20. ¬(CONSIDERING[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
21. ∀[v':V]
      ((¬(CONSIDERING[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (¬(CONSIDERING[v] = CONSIDERING[v'] ∈ consensus-state3(V)))
        ∧ (¬(COMMITED[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V))) 
        supposing ¬(v = v' ∈ V))
22. (COMMITED[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
⇒ (∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
23. (COMMITED[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)) ⇐ ∃v,v':V
                                                      ((¬(v = v' ∈ V))
                                                      ∧ in state s, inning i could commit v 
                                                      ∧ in state s, inning i could commit v' )
24. (COMMITED[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)) ⇒ (¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
25. (COMMITED[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)) ⇐ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v )
26. v@0 : V@i
27. (COMMITED[v] = COMMITED[v@0] ∈ consensus-state3(V)) ⇒ in state s, inning i has committed v@0
28. (COMMITED[v] = COMMITED[v@0] ∈ consensus-state3(V)) ⇐ in state s, inning i has committed v@0
29. COMMITED[v] = CONSIDERING[v@0] ∈ consensus-state3(V)@i
⊢ in state s, inning i could commit v@0 
BY
{ (RenameVar `v2' (-4)
   THEN (InstHyp [⌈v2⌉] 16⋅ THENA Auto)
   THEN Decide v = v2 ∈ V
   THEN Auto
   THEN ThinTrivial
   THEN Auto
   THEN InstHyp [⌈v⌉] (-2)⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  \mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))@i
3.  \mforall{}v,v':V.    Dec(v  =  v')@i
4.  A  :  Id  List@i
5.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
6.  two-intersection(A;W)@i
7.  one-intersection(A;W)
8.  s  :  ConsensusState@i
9.  i  :  \mBbbZ{}@i
10.  Dec(\mexists{}v,v':V
                  ((\mneg{}(v  =  v'))
                  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
11.  \mforall{}v:V.  Dec(in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
12.  v  :  V
13.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
14.  in  state  s,  inning  i  has  committed  v
15.  \mneg{}(INITIAL  =  WITHDRAWN)
16.  \mforall{}[v:V]
            (((\mneg{}(COMMITED[v]  =  INITIAL))  \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  INITIAL)))
            \mwedge{}  (\mneg{}(COMMITED[v]  =  WITHDRAWN))
            \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  WITHDRAWN))
            \mwedge{}  (\mforall{}[v':V]
                      ((\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  COMMITED[v']))
                      \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  CONSIDERING[v']))  \mwedge{}  (\mneg{}(COMMITED[v]  =  COMMITED[v'])) 
                          supposing  \mneg{}(v  =  v'))))
17.  \mneg{}(COMMITED[v]  =  INITIAL)
18.  \mneg{}(CONSIDERING[v]  =  INITIAL)
19.  \mneg{}(COMMITED[v]  =  WITHDRAWN)
20.  \mneg{}(CONSIDERING[v]  =  WITHDRAWN)
21.  \mforall{}[v':V]
            ((\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  COMMITED[v']))
            \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  CONSIDERING[v']))  \mwedge{}  (\mneg{}(COMMITED[v]  =  COMMITED[v']))  supposing  \mneg{}(v  =  v'))
22.  (COMMITED[v]  =  INITIAL)
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}v,v':V
          ((\mneg{}(v  =  v'))  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
23.  (COMMITED[v]  =  INITIAL)  \mLeftarrow{}{}  \mexists{}v,v':V
                                                                ((\mneg{}(v  =  v'))
                                                                \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                                                \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  )
24.  (COMMITED[v]  =  WITHDRAWN)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  ))
25.  (COMMITED[v]  =  WITHDRAWN)  \mLeftarrow{}{}  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  )
26.  v@0  :  V@i
27.  (COMMITED[v]  =  COMMITED[v@0])  {}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  has  committed  v@0
28.  (COMMITED[v]  =  COMMITED[v@0])  \mLeftarrow{}{}  in  state  s,  inning  i  has  committed  v@0
29.  COMMITED[v]  =  CONSIDERING[v@0]@i
\mvdash{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v@0 


By

(RenameVar  `v2'  (-4)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}v2\mkleeneclose{}]  16\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Decide  v  =  v2
  THEN  Auto
  THEN  ThinTrivial
  THEN  Auto
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index