---

Step * 3 1 3 1 1 2 1 of Lemma consensus-ts5-true-knowledge

.....equality..... 
1. V : Type
2. A : Id List@i
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
4. x1 : ConsensusState@i
5. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
6. ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <x1, x2>@i
7. y1 : ConsensusState@i
8. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
9. ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <y1, y2>@i
10. ∀a,b:{a:Id| (a ∈ A)} .
      let I,z = Knowledge(x2;a)(b) 
      in (I ≤ Inning(x1;b))
         ∧ case z
            of inl(p) =>
            let k,v = p 
            in k < I
               ∧ (↑k ∈ dom(Estimate(x1;b)))
               ∧ (Estimate(x1;b)(k) = v ∈ V)
               ∧ (∀i:ℤ. ¬↑i ∈ dom(Estimate(x1;b)) supposing k < i ∧ i < I)
            | inr(p) =>
            ∀i:ℤ. ¬↑i ∈ dom(Estimate(x1;b)) supposing i < I 
      supposing ↑b ∈ dom(Knowledge(x2;a))@i
11. a1 : {a:Id| (a ∈ A)} @i
12. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a1 ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
13. Inning(y1;a1) = Inning(x1;a1) ∈ ℤ@i
14. Estimate(y1;a1) = Estimate(x1;a1) ∈ i:ℤ fp-> V@i
15. b1 : {a:Id| (a ∈ A)} @i
16. i : ℤ@i
17. i ≤ Inning(x1;b1)@i
18. j : ℤ@i
19. j < i@i
20. ↑j ∈ dom(Estimate(x1;b1))@i
21. ∀k:ℤ. (j < k ⇒ k < i ⇒ (¬↑k ∈ dom(Estimate(x1;b1))))@i
22. Knowledge(y2;a1) = b1 : <i, inl <j, Estimate(x1;b1)(j)>> ⊕ Knowledge(x2;a1) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)@i
23. a : Id@i
24. (a ∈ A)@i
25. b : Id@i
26. (b ∈ A)@i
27. ↑b ∈ dom(Knowledge(y2;a))
28. a = a1 ∈ Id
29. b = b1 ∈ Id
⊢ Knowledge(y2;a1)(b) = <i, inl <j, Estimate(x1;b1)(j)>> ∈ (ℤ × (ℤ × V + Top))
BY
{ HypSubst' -2 -3 }

1
1. V : Type
2. A : Id List@i
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
4. x1 : ConsensusState@i
5. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
6. ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <x1, x2>@i
7. y1 : ConsensusState@i
8. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
9. ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <y1, y2>@i
10. ∀a,b:{a:Id| (a ∈ A)} .
      let I,z = Knowledge(x2;a)(b) 
      in (I ≤ Inning(x1;b))
         ∧ case z
            of inl(p) =>
            let k,v = p 
            in k < I
               ∧ (↑k ∈ dom(Estimate(x1;b)))
               ∧ (Estimate(x1;b)(k) = v ∈ V)
               ∧ (∀i:ℤ. ¬↑i ∈ dom(Estimate(x1;b)) supposing k < i ∧ i < I)
            | inr(p) =>
            ∀i:ℤ. ¬↑i ∈ dom(Estimate(x1;b)) supposing i < I 
      supposing ↑b ∈ dom(Knowledge(x2;a))@i
11. a1 : {a:Id| (a ∈ A)} @i
12. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a1 ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
13. Inning(y1;a1) = Inning(x1;a1) ∈ ℤ@i
14. Estimate(y1;a1) = Estimate(x1;a1) ∈ i:ℤ fp-> V@i
15. b1 : {a:Id| (a ∈ A)} @i
16. i : ℤ@i
17. i ≤ Inning(x1;b1)@i
18. j : ℤ@i
19. j < i@i
20. ↑j ∈ dom(Estimate(x1;b1))@i
21. ∀k:ℤ. (j < k ⇒ k < i ⇒ (¬↑k ∈ dom(Estimate(x1;b1))))@i
22. Knowledge(y2;a1) = b1 : <i, inl <j, Estimate(x1;b1)(j)>> ⊕ Knowledge(x2;a1) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)@i
23. a : Id@i
24. (a ∈ A)@i
25. b : Id@i
26. (b ∈ A)@i
27. ↑b ∈ dom(Knowledge(y2;a1))
28. a = a1 ∈ Id
29. b = b1 ∈ Id
⊢ Knowledge(y2;a1)(b) = <i, inl <j, Estimate(x1;b1)(j)>> ∈ (ℤ × (ℤ × V + Top))

---

Latex:


.....equality..... 
1.  V  :  Type
2.  A  :  Id  List@i
3.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
4.  x1  :  ConsensusState@i
5.  x2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
6.  ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) 
      (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))\^{}*) 
      <x1,  x2>@i
7.  y1  :  ConsensusState@i
8.  y2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
9.  ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) 
      (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))\^{}*) 
      <y1,  y2>@i
10.  \mforall{}a,b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .
            let  I,z  =  Knowledge(x2;a)(b) 
            in  (I  \mleq{}  Inning(x1;b))
                  \mwedge{}  case  z
                        of  inl(p)  =>
                        let  k,v  =  p 
                        in  k  <  I
                              \mwedge{}  (\muparrow{}k  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b)))
                              \mwedge{}  (Estimate(x1;b)(k)  =  v)
                              \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbZ{}.  \mneg{}\muparrow{}i  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b))  supposing  k  <  i  \mwedge{}  i  <  I)
                        |  inr(p)  =>
                        \mforall{}i:\mBbbZ{}.  \mneg{}\muparrow{}i  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b))  supposing  i  <  I 
            supposing  \muparrow{}b  \mmember{}  dom(Knowledge(x2;a))@i
11.  a1  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
12.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((\mneg{}(b  =  a1))
            {}\mRightarrow{}  ((Inning(y1;b)  =  Inning(x1;b))
                  \mwedge{}  (Estimate(y1;b)  =  Estimate(x1;b))
                  \mwedge{}  (Knowledge(y2;b)  =  Knowledge(x2;b))))@i
13.  Inning(y1;a1)  =  Inning(x1;a1)@i
14.  Estimate(y1;a1)  =  Estimate(x1;a1)@i
15.  b1  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
16.  i  :  \mBbbZ{}@i
17.  i  \mleq{}  Inning(x1;b1)@i
18.  j  :  \mBbbZ{}@i
19.  j  <  i@i
20.  \muparrow{}j  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b1))@i
21.  \mforall{}k:\mBbbZ{}.  (j  <  k  {}\mRightarrow{}  k  <  i  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}k  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b1))))@i
22.  Knowledge(y2;a1)  =  b1  :  <i,  inl  <j,  Estimate(x1;b1)(j)>>  \moplus{}  Knowledge(x2;a1)@i
23.  a  :  Id@i
24.  (a  \mmember{}  A)@i
25.  b  :  Id@i
26.  (b  \mmember{}  A)@i
27.  \muparrow{}b  \mmember{}  dom(Knowledge(y2;a))
28.  a  =  a1
29.  b  =  b1
\mvdash{}  Knowledge(y2;a1)(b)  =  <i,  inl  <j,  Estimate(x1;b1)(j)>>


By

HypSubst'  -2  -3

---

Home Index