---

Step * 1 1 1 2 1 2 1 1 of Lemma cs-inning-committable-step


1. V : Type@i'
2. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
3. A : Id List@i
4. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
5. x : ConsensusState@i
6. y : ConsensusState@i
7. i : ℕ@i
8. v : V@i
9. ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} 
    ((∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
        ((¬(b = a ∈ Id)) ⇒ ((Inning(y;b) = Inning(x;b) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;b) = Estimate(x;b) ∈ i:ℤ fp-> V))))
    ∧ (((Inning(y;a) = (Inning(x;a) + 1) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ∈ i:ℤ fp-> V))
      ∨ ((Inning(y;a) = Inning(x;a) ∈ ℤ)
        ∧ (¬(Inning(x;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x;a))))
        ∧ (∃v:V
            (state x may consider v in inning Inning(x;a)
            ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ⊕ Inning(x;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V))))))@i
10. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ∀i:ℤ.  ((i ∈ fpf-domain(Estimate(x;a))) ⇒ (i ≤ Inning(x;a)))
11. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List
12. (ws ∈ W)
13. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ (by state y, a archived v in inning i ∨ in state y, a has not completed inning i))
14. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
15. (a ∈ ws)@i
16. in state y, a has not completed inning i
17. ¬by state x, a archived v in inning i
18. ∀x,y:ts-type(consensus-ts4(V;A;W)).  ((x (ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))^*) y) ⇒ (Inning(x;a) ≤ Inning(y;a)))
19. Inning(x;a) ≤ Inning(y;a)
20. ∀x,y:ts-type(consensus-ts4(V;A;W)).  ((x (ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))^*) y) ⇒ Estimate(x;a) ⊆ Estimate(y;a))
21. Estimate(x;a) ⊆ Estimate(y;a)
⊢ in state x, a has not completed inning i
BY
{ (Thin (-2) THEN Thin (-3)) }

1
1. V : Type@i'
2. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
3. A : Id List@i
4. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
5. x : ConsensusState@i
6. y : ConsensusState@i
7. i : ℕ@i
8. v : V@i
9. ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} 
    ((∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
        ((¬(b = a ∈ Id)) ⇒ ((Inning(y;b) = Inning(x;b) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;b) = Estimate(x;b) ∈ i:ℤ fp-> V))))
    ∧ (((Inning(y;a) = (Inning(x;a) + 1) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ∈ i:ℤ fp-> V))
      ∨ ((Inning(y;a) = Inning(x;a) ∈ ℤ)
        ∧ (¬(Inning(x;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x;a))))
        ∧ (∃v:V
            (state x may consider v in inning Inning(x;a)
            ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ⊕ Inning(x;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V))))))@i
10. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ∀i:ℤ.  ((i ∈ fpf-domain(Estimate(x;a))) ⇒ (i ≤ Inning(x;a)))
11. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List
12. (ws ∈ W)
13. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ (by state y, a archived v in inning i ∨ in state y, a has not completed inning i))
14. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
15. (a ∈ ws)@i
16. in state y, a has not completed inning i
17. ¬by state x, a archived v in inning i
18. Inning(x;a) ≤ Inning(y;a)
19. Estimate(x;a) ⊆ Estimate(y;a)
⊢ in state x, a has not completed inning i

---

Latex:



1.  V  :  Type@i'
2.  \mforall{}v,v':V.    Dec(v  =  v')@i
3.  A  :  Id  List@i
4.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
5.  x  :  ConsensusState@i
6.  y  :  ConsensusState@i
7.  i  :  \mBbbN{}@i
8.  v  :  V@i
9.  \mexists{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
        ((\mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
                ((\mneg{}(b  =  a))  {}\mRightarrow{}  ((Inning(y;b)  =  Inning(x;b))  \mwedge{}  (Estimate(y;b)  =  Estimate(x;b)))))
        \mwedge{}  (((Inning(y;a)  =  (Inning(x;a)  +  1))  \mwedge{}  (Estimate(y;a)  =  Estimate(x;a)))
            \mvee{}  ((Inning(y;a)  =  Inning(x;a))
                \mwedge{}  (\mneg{}(Inning(x;a)  \mmember{}  fpf-domain(Estimate(x;a))))
                \mwedge{}  (\mexists{}v:V
                        (state  x  may  consider  v  in  inning  Inning(x;a)
                        \mwedge{}  (Estimate(y;a)  =  Estimate(x;a)  \moplus{}  Inning(x;a)  :  v))))))@i
10.  \mforall{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  \mforall{}i:\mBbbZ{}.    ((i  \mmember{}  fpf-domain(Estimate(x;a)))  {}\mRightarrow{}  (i  \mleq{}  Inning(x;a)))
11.  ws  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List
12.  (ws  \mmember{}  W)
13.  \mforall{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((a  \mmember{}  ws)
            {}\mRightarrow{}  (by  state  y,  a  archived  v  in  inning  i  \mvee{}  in  state  y,  a  has  not  completed  inning  i))
14.  a  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
15.  (a  \mmember{}  ws)@i
16.  in  state  y,  a  has  not  completed  inning  i
17.  \mneg{}by  state  x,  a  archived  v  in  inning  i
18.  \mforall{}x,y:ts-type(consensus-ts4(V;A;W)).
            ((x  (ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))\^{}*)  y)  {}\mRightarrow{}  (Inning(x;a)  \mleq{}  Inning(y;a)))
19.  Inning(x;a)  \mleq{}  Inning(y;a)
20.  \mforall{}x,y:ts-type(consensus-ts4(V;A;W)).
            ((x  (ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))\^{}*)  y)  {}\mRightarrow{}  Estimate(x;a)  \msubseteq{}  Estimate(y;a))
21.  Estimate(x;a)  \msubseteq{}  Estimate(y;a)
\mvdash{}  in  state  x,  a  has  not  completed  inning  i


By

(Thin  (-2)  THEN  Thin  (-3))

---

Home Index