---

Step * 2 of Lemma cs-ref-map-unchanged


1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. A : Id List@i
4. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
5. two-intersection(A;W)@i
6. f : ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)@i
7. ∀s:ConsensusState. ∀i:ℕ.
     ((i < ||f s|| ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))
     ∧ (i < ||f s||
       ⇒ ((f s[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
           ⇐⇒ ∃v,v':V
                ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
          ∧ (f s[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
          ∧ (∀v:V
               ((f s[i] = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
               ∧ (f s[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
                 ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
                     ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
                     ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))))@i
8. x : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
9. y : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
10. x ∈ ConsensusState
11. y ∈ ConsensusState
12. x ts-rel(consensus-ts4(V;A;W)) y@i
13. i : ℕ@i
14. i < ||f x||
15. i < ||f y||
16. ∀v:V. (in state x, inning i could commit v  ⇒ in state y, inning i could commit v )@i
17. f x[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)
18. (f x[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
⇒ (∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state x, inning i could commit v  ∧ in state x, inning i could commit v' ))
19. (f x[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)) ⇐ ∃v,v':V
                                                 ((¬(v = v' ∈ V))
                                                 ∧ in state x, inning i could commit v 
                                                 ∧ in state x, inning i could commit v' )
20. ∀v:V
      ((f x[i] = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state x, inning i has committed v)
      ∧ (f x[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
        ⇐⇒ in state x, inning i could commit v 
            ∧ (¬in state x, inning i has committed v)
            ∧ (∀v':V. (in state x, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))
21. ¬(∃v:V. in state x, inning i could commit v )
22. f x[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)
⊢ (f y[i] = f x[i] ∈ consensus-state3(V))
∨ (∃v:V. ((f y[i] = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V)) ∧ (f x[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V))))
BY
{ ((Assert ¬(∃v:V. in state y, inning i could commit v ) BY
          (ParallelOp -2 THEN ParallelLast THEN (FLemma `cs-inning-committable-step` [12;-1] THEN Auto)⋅))⋅
   THEN (Assert f y[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) BY
               (BackThruSomeHyp THEN Auto))
   THEN OrLeft
   THEN Auto) }

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  A  :  Id  List@i
4.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
5.  two-intersection(A;W)@i
6.  f  :  ConsensusState  {}\mrightarrow{}  (consensus-state3(V)  List)@i
7.  \mforall{}s:ConsensusState.  \mforall{}i:\mBbbN{}.
          ((i  <  ||f  s||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  (i  \mleq{}  Inning(s;a)))
          \mwedge{}  (i  <  ||f  s||
              {}\mRightarrow{}  ((f  s[i]  =  INITIAL
                      \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}v,v':V
                                ((\mneg{}(v  =  v'))
                                \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
                    \mwedge{}  (f  s[i]  =  WITHDRAWN  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  ))
                    \mwedge{}  (\mforall{}v:V
                              ((f  s[i]  =  COMMITED[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                              \mwedge{}  (f  s[i]  =  CONSIDERING[v]
                                  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                          \mwedge{}  (\mneg{}in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                                          \mwedge{}  (\mforall{}v':V.  (in  state  s,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v)))))))))@i
8.  x  :  ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
9.  y  :  ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
10.  x  \mmember{}  ConsensusState
11.  y  \mmember{}  ConsensusState
12.  x  ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))  y@i
13.  i  :  \mBbbN{}@i
14.  i  <  ||f  x||
15.  i  <  ||f  y||
16.  \mforall{}v:V.  (in  state  x,  inning  i  could  commit  v    {}\mRightarrow{}  in  state  y,  inning  i  could  commit  v  )@i
17.  f  x[i]  =  WITHDRAWN
18.  (f  x[i]  =  INITIAL)
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}v,v':V
          ((\mneg{}(v  =  v'))  \mwedge{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v'  ))
19.  (f  x[i]  =  INITIAL)  \mLeftarrow{}{}  \mexists{}v,v':V
                                                      ((\mneg{}(v  =  v'))
                                                      \mwedge{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v 
                                                      \mwedge{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v'  )
20.  \mforall{}v:V
            ((f  x[i]  =  COMMITED[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  x,  inning  i  has  committed  v)
            \mwedge{}  (f  x[i]  =  CONSIDERING[v]
                \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v 
                        \mwedge{}  (\mneg{}in  state  x,  inning  i  has  committed  v)
                        \mwedge{}  (\mforall{}v':V.  (in  state  x,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v)))))
21.  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  x,  inning  i  could  commit  v  )
22.  f  x[i]  =  WITHDRAWN
\mvdash{}  (f  y[i]  =  f  x[i])  \mvee{}  (\mexists{}v:V.  ((f  y[i]  =  COMMITED[v])  \mwedge{}  (f  x[i]  =  CONSIDERING[v])))


By

((Assert  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  y,  inning  i  could  commit  v  )  BY
                (ParallelOp  -2
                  THEN  ParallelLast
                  THEN  (FLemma  `cs-inning-committable-step`  [12;-1]  THEN  Auto)\mcdot{}))\mcdot{}
  THEN  (Assert  f  y[i]  =  WITHDRAWN  BY
                          (BackThruSomeHyp  THEN  Auto))
  THEN  OrLeft
  THEN  Auto)

---

Home Index