---

Step * 3 2 1 1 of Lemma cs-ref-map-unchanged


1. V : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. A : Id List@i
4. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
5. two-intersection(A;W)@i
6. f : ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)@i
7. ∀s:ConsensusState. ∀i:ℕ.
     ((i < ||f s|| ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))
     ∧ (i < ||f s||
       ⇒ ((f s[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
           ⇐⇒ ∃v,v':V
                ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
          ∧ (f s[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
          ∧ (∀v:V
               ((f s[i] = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
               ∧ (f s[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
                 ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
                     ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
                     ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))))@i
8. x : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
9. y : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
10. x ∈ ConsensusState
11. y ∈ ConsensusState
12. x ts-rel(consensus-ts4(V;A;W)) y@i
13. i : ℕ@i
14. i < ||f x||
15. i < ||f y||
16. ∀v:V. (in state x, inning i could commit v  ⇒ in state y, inning i could commit v )@i
17. v : V
18. f x[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
19. (f x[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
⇒ (∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state x, inning i could commit v  ∧ in state x, inning i could commit v' ))
20. (f x[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)) ⇐ ∃v,v':V
                                                 ((¬(v = v' ∈ V))
                                                 ∧ in state x, inning i could commit v 
                                                 ∧ in state x, inning i could commit v' )
21. (f x[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)) ⇒ (¬(∃v:V. in state x, inning i could commit v ))
22. (f x[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)) ⇐ ¬(∃v:V. in state x, inning i could commit v )
23. ∀v:V
      ((f x[i] = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state x, inning i has committed v)
      ∧ (f x[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
        ⇐⇒ in state x, inning i could commit v 
            ∧ (¬in state x, inning i has committed v)
            ∧ (∀v':V. (in state x, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))
24. (f x[i] = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V)) ⇒ in state x, inning i has committed v
25. (f x[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)) ⇐ in state x, inning i could commit v 
∧ (¬in state x, inning i has committed v)
∧ (∀v':V. (in state x, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))
26. in state x, inning i could commit v 
27. ¬in state x, inning i has committed v
28. ∀v':V. (in state x, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V))
29. ¬in state y, inning i has committed v
30. in state y, inning i could commit v 
31. ¬in state y, inning i has committed v
32. v' : V@i
33. in state y, inning i could commit v' @i
⊢ in state x, inning i could commit v' 
BY
{ (FLemma `cs-inning-committable-step` [12;-1] THEN Auto) }

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  A  :  Id  List@i
4.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
5.  two-intersection(A;W)@i
6.  f  :  ConsensusState  {}\mrightarrow{}  (consensus-state3(V)  List)@i
7.  \mforall{}s:ConsensusState.  \mforall{}i:\mBbbN{}.
          ((i  <  ||f  s||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  (i  \mleq{}  Inning(s;a)))
          \mwedge{}  (i  <  ||f  s||
              {}\mRightarrow{}  ((f  s[i]  =  INITIAL
                      \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}v,v':V
                                ((\mneg{}(v  =  v'))
                                \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
                    \mwedge{}  (f  s[i]  =  WITHDRAWN  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  ))
                    \mwedge{}  (\mforall{}v:V
                              ((f  s[i]  =  COMMITED[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                              \mwedge{}  (f  s[i]  =  CONSIDERING[v]
                                  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                          \mwedge{}  (\mneg{}in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                                          \mwedge{}  (\mforall{}v':V.  (in  state  s,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v)))))))))@i
8.  x  :  ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
9.  y  :  ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
10.  x  \mmember{}  ConsensusState
11.  y  \mmember{}  ConsensusState
12.  x  ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))  y@i
13.  i  :  \mBbbN{}@i
14.  i  <  ||f  x||
15.  i  <  ||f  y||
16.  \mforall{}v:V.  (in  state  x,  inning  i  could  commit  v    {}\mRightarrow{}  in  state  y,  inning  i  could  commit  v  )@i
17.  v  :  V
18.  f  x[i]  =  CONSIDERING[v]
19.  (f  x[i]  =  INITIAL)
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}v,v':V
          ((\mneg{}(v  =  v'))  \mwedge{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v'  ))
20.  (f  x[i]  =  INITIAL)  \mLeftarrow{}{}  \mexists{}v,v':V
                                                      ((\mneg{}(v  =  v'))
                                                      \mwedge{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v 
                                                      \mwedge{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v'  )
21.  (f  x[i]  =  WITHDRAWN)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  x,  inning  i  could  commit  v  ))
22.  (f  x[i]  =  WITHDRAWN)  \mLeftarrow{}{}  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  x,  inning  i  could  commit  v  )
23.  \mforall{}v:V
            ((f  x[i]  =  COMMITED[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  x,  inning  i  has  committed  v)
            \mwedge{}  (f  x[i]  =  CONSIDERING[v]
                \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v 
                        \mwedge{}  (\mneg{}in  state  x,  inning  i  has  committed  v)
                        \mwedge{}  (\mforall{}v':V.  (in  state  x,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v)))))
24.  (f  x[i]  =  COMMITED[v])  {}\mRightarrow{}  in  state  x,  inning  i  has  committed  v
25.  (f  x[i]  =  CONSIDERING[v])  \mLeftarrow{}{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v 
\mwedge{}  (\mneg{}in  state  x,  inning  i  has  committed  v)
\mwedge{}  (\mforall{}v':V.  (in  state  x,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v)))
26.  in  state  x,  inning  i  could  commit  v 
27.  \mneg{}in  state  x,  inning  i  has  committed  v
28.  \mforall{}v':V.  (in  state  x,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v))
29.  \mneg{}in  state  y,  inning  i  has  committed  v
30.  in  state  y,  inning  i  could  commit  v 
31.  \mneg{}in  state  y,  inning  i  has  committed  v
32.  v'  :  V@i
33.  in  state  y,  inning  i  could  commit  v'  @i
\mvdash{}  in  state  x,  inning  i  could  commit  v' 


By

(FLemma  `cs-inning-committable-step`  [12;-1]  THEN  Auto)

---

Home Index